Πλευρά ισοπλεύρου

KARKAR · #1

Ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , πλευράς

, έχει τις κορυφές του πάνω σε ομόκεντρα

ημικύκλια , ακτίνων $\rho , 2\rho , 3\rho$ , αντίστοιχα . Να δειχθεί ότι : $a=\rho \sqrt{7}$

#2

Η ισότητα $a\cdot 2 \rho + a\cdot \rho = a\cdot 3\rho$ μεταφράζεται $AC\cdot OB + BC \cdot OA = AB\cdot OC$ . Με τη σειρά του αυτό λέει ότι το OACB

είναι εγγράψιμμο (ανίστροφο του Θεωρήματος Πτολεμαίου). Άρα $\angle AOB = 180^o-\angle ACB = 120^o$ .

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο OAB

έχουμε $a^2=AB^2= \rho ^2 +(2\rho)^2 - 2\cdot 2\rho \cdot \rho \cos 120^o = 7\rho ^2$ , από όπου το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

S.E.Louridas · #3

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ASO

.

Προφανώς έχουμε:
$\begin{array}{*{20}c} {\vartriangle ACO = \vartriangle ABS \Rightarrow SB = OC = 3\rho \Rightarrow O \in SB \Rightarrow } \\ {AB^2 = \left( {3\rho } \right)^2 + \rho ^2 - 2\rho \cdot 3\rho \cdot \cos \frac{\pi } {3} = 7\rho ^2 \Rightarrow AB = \rho \sqrt 7 .} \\ \end{array}$

S.E.Louridas

parmenides51 · #4

μια λύση με στροφή εδώ (από τον Ανδρέα)

Πλευρά ισοπλεύρου

Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Re: Πλευρά ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση