EMBAΔΑ

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=1 ορθή) και τετράγωνο ΒΓΔΕ εξωτερικό του τριγώνου. Από τις κορυφές Ε και Δ του τετραγώνου φέρνουμε τις κάθετες ΕΚ και ΔΛ στην ευθεία της πλευράς ΑΓ και από τις κορυφές Β και Δ τις κάθετες ΒΜ και ΔΝ στην ΕΚ.

Να δείξετε ότι: Εμβ(ΒΓΔΕ) = Εμβ(ΒΑΛΔΝΜΒ)

[Μιχάλης Νάννος]

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΒΜΕ, ΕΝΔ, ΓΛΔ είναι ίσα και τα τετράπλευρα ΑΒΜΚ και ΚΛΔΝ είναι τετράγωνα. Εφόσον ΑΓ=ΝΔ με ένα πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει το ζητούμενο.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Ωραία Μιχάλη


και μια άλλη αντιμετώπιση

Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΓΛΔ, ΕΝΔ, και ΑΕΜ είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και με μια οξεία γωνία ίση από τις παράλληλες του σχήματος, επομένως είναι ίσα και επιπλέον έχουμε:
(ΑΒΓ) = (ΓΛΔ) = (ΕΝΔ) = (ΑΕΜ) = ε
άρα
(ΒΓΔΕ) = 2ε + (ΒΓΔΝΜ)
(ΒΑΛΔΜΝΒ) = 2ε + (ΒΓΔΝΜ)