Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Ανδρέας Πούλος · #1

Στο συνημμένο σχήμα έχουμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και ΟΒ = 10.
Το σημείο Γ κινείται στον άξονα xx', ώστε 0 < ΟΓ < 10.
Αν Δ το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΒΓΟ στον άξονα yy',
να βρεθεί η απόσταση ΟΔ για τις διάφορες θέσεις του σημείου Γ.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

: a.png (6.78 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Σχήμα 1.ggb: (5.11 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Καλησπέρα Ανδρέα, δεν ξέρω τι απαντήσεις περιμένεις και με ποιον τρόπο ζητάς την απόδειξη (με κατεύθυνση; Αναλυτική Γεωμετρία;;) αλλά νομίζω ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία μας την λύνει απλά. Από το Θεώρημα των διχοτόμων έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{{{\rm O}\Delta }}{{\Delta {\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}\Gamma + {\rm B}\Gamma }} = \frac{{{\rm O}\Delta }}{{{\rm O}\Delta + \Delta {\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{\left| \gamma \right|}}{{\sqrt {{\gamma ^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{{\rm O}\Delta }}{{10}} \Leftrightarrow {\rm O}\Delta = \frac{{10\left| \gamma \right|}}{{\sqrt {{\gamma ^2} + {{10}^2}} }}}$

όπου Γ(γ,0) με γ<0. Άρα βρήκαμε την πλευρά ΟΔ ως προς τις διάφορες θέσεις του σημείου Γ, δηλαδή ως προς την τετμημένη του. Πρέπει να διερευνήσουμε και κάτι ακόμα;

Ανδρέας Πούλος · #3

Μάκη,
προφανώς, το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου μας βοηθά να κατασκευάσουμε τον τύπο για το μήκος γ,
αλλά συγκεκριμένα ζητάω το σύνολο τιμών της συνάρτησης

$f(x)= \frac{10\left|x \right|}{\sqrt{100+x^{2}}}$

όταν το x κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών -10 και 10.

Βεβαίως, είναι θέμα περισσότερο αλγεβρικό, αλλά έχει και μία ενδιαφέρουσα γεωμετρική ερμηνεία
το σύνολο τιμών της συγκεκριμένης συνάρτησης που είναι μάλλον ασυνήθιστη,
αν και εύκολα κατανοητή από τους μαθητές.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #4

Μάκη,
εντόπισα ένα λάθος στον τύπο για το μήκος του ΟΔ που προέρχεται από απροσεξία.

Ο σωστός τύπος για το ΟΔ είναι ο εξής: $\frac{10\left|\gamma \right|}{\gamma + \sqrt{10^{2}+\gamma ^{2}}}$ .

Αυτό σημαίνει ότι και η συνάρτηση που δίνει το μήκος του ΟΔ είναι η:

f(x) = $\frac{10x}{x+\sqrt{100 + x^{2}}}$ με $0 < x \leq 10$ .

Το ενδιαφέρον δεν βρίσκεται κατά τη γνώμη μου εκεί, αλλά στο γεγονός ότι ένας μαθητής της Β' Λυκείου,
ενώ δεν γνωρίζει να βρίσκει το σύνολο των τιμών μιας τέτοιας συνάρτησης (με χρήση των παραγώγων),
μπορεί γεωμετρικά (ουσιαστικά σχηματικά) να διαπιστώσει ότι το σύνολο τιμών του ΟΔ
κυμαίνεται από 0 έως τον αριθμό $10\left(\sqrt{2} - 1 \right)$ που είναι το μέγιστο μήκος όταν το ΟΓ = 10.
Όταν το Γ πλησιάζει προς το Ο από αριστερά ή από δεξιά το ίχνος του Δ απέχει λιγότερο από το Ο
και όταν το Γ τείνει στο Ο, τότε και το μήκος ΟΔ τείνει στον αριθμό μηδέν.
Δηλαδή, θεωρώ την συγκεκριμένη άσκηση ως εισαγωγή σε προβλήματα μεγίστων - ελαχίστων,
όπως τα είχαν αντιμετωπίσει τον 17ο αιώνα πριν την εμφάνιση του Διαφορικού Λογισμού.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Ναι Ανδρέα έχεις δίκιο το φάγαμε το "γ", τώρα έχει νόημα η διερεύνηση!

Αλλά μέγιστο δεν έχει αφού το γ < 10, άρα είναι άνω φράγμα, σωστά;

Ανδρέας Πούλος · #6

Ναι, το ξέχασα.
Σε άλλα κείμενα θεωρούσα γ < 10 και σε άλλα γ $\leq 10$ .
Ένα μυαλό χειμώνα καλοκαίρι. Αλήθεια, τώρα τι εποχή έχουμε;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Re: Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Re: Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Re: Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Re: Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Re: Μετακίνηση ίχνους διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση