Εμβαδόν τριγώνου

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τρίγωνο $AB\varGamma$ με πλευρές $AB=5 , A\varGamma =\sqrt{15}$ και $B\varGamma =4.$
Κατασκευάζουμε τους κύκλους C_1 , C_2

οι οποίοι διέρχονται από την κορυφή

και εφάπτονται στην πλευρά $B\varGamma$ , στις κορυφές

και $\varGamma$ , αντίστοιχα.
Ονομάζουμε

το δεύτερο σημείο τομής των δύο κύκλων.
Να αποδείξετε ότι $(BE\varGamma)=\dfrac{1}{4}(AB\varGamma).$

#2

Επειδή η ΑΕ είναι ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων θα είναι:
ΟΒ=ΟΓ (1)
Άρα η ΑΟ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και από το πρώτο θεώρημα
της διαμέσου βρίσκεται ότι: AO=4

Εξάλλου είναι:
$O\Gamma ^2=OE.OA\Rightarrow 2^2=OE.4\Rightarrow OE=1$
Άρα ο λόγος των εμβαδών είναι:
$\frac{E_{(EB\Gamma) }}{E_{(AB\Gamma )}}=\frac{OE}{OA}=\frac{1}{4}$

#3

Διαγραφή μηνύματος. Λάθος σχόλιο

Ευχαριστώ τον κ. Δόρτσιο.

Ανδρέας Πούλος · #4

Κώστα,
συγχαρητήρια για την απλή και σύντομη λύση που έδωσες.
Τόση ώρα έψαχνα το θέμα και δεν "έβλεπα" τα απλά.
Το έχω ξαναγράψει, είναι ευτύχημα που συμμετέχεις στο Φόρουμ.

Αν μου επιτρέπει ο Στράτης, μπορεί να ζητήσουμε τον υπολογισμό των μηκών ΒΕ και ΓΕ;
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#5

Θάνο δε νομίζω πως το Ο είναι ένα από τα δύο σημεία του Broocart γιατί θα έπρεπε:
$\hat{EA\Gamma }=\hat{E\Gamma B}=\hat{EBA} (1)$
αν και
$\hat{EA\Gamma }=\hat{E\Gamma B}(2)$
η ισότητα:
$\hat{E\Gamma B}=\hat{EBA}$
θα ίσχυε αν ο πράσινος κύκλος ήταν εφαπτόμενος στην ΑΓ που δεν
αποδεικνύεται.
(όμοια και η δεύτερη περίπτωση του σημείου Broocart)

Ανδρέα, σ' ευχαριστώ. Τα λόγια σου μ' ενθαρρύνουν.
Τα τμήματα που λες υπολογίζονται με το θεώρημα του Stewart και είναι:
$BE=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2},\Gamma E=\frac{A\Gamma }{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$

Καλημέρα

Κώστας Δόρτσιος

Ιστοσελίδα · #6

Καλημέρα

Ακόμα μια λύση.

Προεκτείνω την ΑΕ και έστω Μ το σημείο τομής με την ΒΓ.

Από τέμνουσα και εφαπτομένη ισχύει: ${\rm M}{{\rm B}^2} = {\rm M}{\rm E} \cdot {\rm M}{\rm A} = {\rm M}{\Gamma ^2} \Rightarrow {\rm M}{\rm B} = {\rm M}\Gamma = 2$ .

Από 1ο θεώρημα διαμέσων έχω: $2{\rm A}{{\rm M}^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Gamma ^2} - \displaystyle\frac{{{\rm B}{\Gamma ^2}}}{2} \Rightarrow {\rm A}{\rm M} = 4$ .

Από γωνία χορδής και εφαπτομένης θα ισχύει: ${\rm M}\widehat {\rm A}\Gamma = {\rm E}\widehat \Gamma {\rm M} = \varphi ,\,{\rm M}\widehat {\rm A}{\rm B} = {\rm M}\widehat {\rm B}{\rm E} = \omega$ , επομένως τα τρίγωνα ΑΜΓ, ΓΜΕ και ΑΒΜ, ΒΕΜ είναι όμοια.

Από τους λόγους ομοιότητας παίρνω: ${\rm E}\Gamma = \displaystyle\frac{{\sqrt {15} }}{2},\,{\rm E}{\rm B} = \displaystyle\frac{5}{2}$ .

Θα ισχύει: $\left( {{\rm E}{\rm B}\Gamma } \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot {\rm E}{\rm B} \cdot {\rm E}\Gamma \cdot \eta \mu \left[ {{{180}^ \circ } - (\varphi + \omega )} \right] = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{2} \cdot \displaystyle\frac{{\sqrt {15} }}{2}\eta \mu (\varphi + \omega ) = \displaystyle\frac{1}{4}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)$ .

: Εμβαδόν τριγώνου.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση