Δισορθογώνιο τραπέζιο

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΔ//ΒΓ) με Α = Β = 90 μοίρες. Αν ο κύκλος με διάμετρο την ΓΔ τέμνει την πλευρά του ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ, τότε να δείξετε:

α) $\displaystyle{ AE = BZ }$

β) $\displaystyle{ A\Delta \cdot {\rm B}\Gamma = {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}{\rm E} }$

Ιστοσελίδα · #2

Τα τρίγωνα ΑΖΔ, ΕΓΔ είναι όμοια (ορθογώνια και $\widehat {\rm Z} = \widehat \Gamma = \varphi$ σαν εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο).

$\Gamma \widehat \Delta {\rm Z} + {\rm Z}\widehat \Delta {\rm E} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm E} + {\rm Z}\widehat \Delta {\rm E} \Rightarrow \Gamma \widehat \Delta {\rm Z} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm E} = \omega$ . Έστω Η το σημείο τομής του κύκλου και της ΑΔ. Θα ισχύει $\Gamma \widehat \Delta {\rm Z} = \Gamma \widehat {\rm E}{\rm Z} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm H} = {\rm E}\widehat \Gamma {\rm H} = \omega$ και από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΓΔΗΕ θα ισχύει ${\rm H}\widehat \Gamma \Delta = {\rm H}\widehat {\rm E}\Delta = \varphi - \omega$ .

Θα έχουμε ΓΖ = ΕΗ σαν χορδές κύκλου που βαίνουν σε ίσα τόξα και $\Gamma \widehat {\rm Z}{\rm B} = {\rm A}\widehat {\rm E}{\rm H} = {90^ \circ } - \varphi$ , επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΓΖ και ΑΕΗ είναι ίσα, οπότε ΑΕ = ΒΖ.

Για το δεύτερο ερώτημα θα πάρουμε τους λόγους στα όμοια τρίγωνα ΑΕΔ και ΕΒΓ και θα έχουμε:

$\displaystyle\frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}{\rm E}}} = \displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm B}\Gamma }} = \displaystyle\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm B}\Gamma }} \Rightarrow {\rm A}\Delta \cdot {\rm B}\Gamma = {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}{\rm E}.$

: trapezio.jpg (41.03 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

#3

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΔ//ΒΓ) με Α = Β = 90 μοίρες. Αν ο κύκλος με διάμετρο την ΓΔ τέμνει την πλευρά του ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ, τότε να δείξετε:

α) $\displaystyle{ AE = BZ }$

β) $\displaystyle{ A\Delta \cdot {\rm B}\Gamma = {\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}{\rm E} }$

Μια άλλη σκέψη για το α)

Αν Μ είναι το μέσο του ΕΖ, τότε το Μ είναι και μέσο του ΑΒ, μια και η ΟΜ είναι κάθετη στην ΑΒ και έτσι τελικά η ΟΜ είναι διάμεσος του τραπεζίου ΑΒΓΔ. Επειδή λοιπόν ΜΕ =ΜΖ και ΜΑ=ΜΒ, θα είναι ΑΕ =ΒΖ.

Σχόλιο :

Επειδή η γωνία ΓΕΒ είναι ορθή, οι γωνίες ΑΔΕ και ΒΕΓ είναι ίσες. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΕ είναι όμοια.
Από την ομοιότητα και επειδή ΒΕ = ΑΖ παίρνουμε τη ζητούμενη, όπως στη λύση του Μιχάλη.

Μπάμπης

S.E.Louridas · #4

Πάντως αν Τ η τομή του κύκλου με την ΑΔ, προφανώς ΑΤ=ΒΓ οπότε η δύναμη του Α ως πρός τον κύκλο δίνει το ζητούμενο γιά το β).

S.E.Louridas

Δισορθογώνιο τραπέζιο

Δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Δισορθογώνιο τραπέζιο

Re: Δισορθογώνιο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση