Eμβαδό

erxmer · #1

Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και τα τόξα των κυκλων (Α,α), (Β,α), (Γ,α), (Δ,α) που βρίσκονται στο εσωτερικό του τετραγώνου. Τα τόξα αυτά ορίζουν 1 καμπυλόγραμμο τετράγωνο Α'Β'Γ'Δ'. Na βρεθεί το εμβαδόν του.

#2

Ανεβάζω το σχήμα

#3

Το τρίγωνο ΑΔΗ είναι ισόπλευρο, αφού ΔΑ = ΔΗ = α (ως ακτίνες του κύκλου (Δ, α)) και ΑΗ = α (ως ακτίνα του κύκλου (Α, α)). Συνεπώς η γωνία ΑΔΗ είναι 60ο, οπότε η συμπληρωματική της γωνία ΗΔΓ είναι 30ο. Ομοίως 30ο είναι και η γωνία ΑΔΖ (χρησιμοποιώντας το ισόπλευρο τρίγωνο ΓΖΔ), οπότε και η γωνία ΖΔΗ είναι 30ο.

To κυκλικό τμήμα (Δ.ΖΗ) έχει εμβαδό ίσο με:
$\displaystyle{(\Delta. ZH)=\frac{\pi \cdot a^2 \cdot 30^o}{360^o}-\frac{1}{2}\cdot a \cdot a \cdot \eta \mu 30^o=}$

$\displaystyle{=\frac{\pi \cdot a^2}{12}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2(\pi-3)}{12}}$ .

Ομοίως τα κυκλικά τμήματα (Α.ΘΗ), (Β.ΕΘ), (Γ.ΕΖ) έχουν το ίδιο εμβαδό.

Εφαρμόζοντας Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ΔΖΗ έχουμε ότι:

$\displaystyle{ZH^2=\Delta Z^2 +\Delta H^2 -2\Delta Z \cdot \Delta H cos30^o=}$

$\displaystyle{ZH^2=a^2 +a^2 -2a \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2}=a^2(2-\sqrt{3}) \Leftrightarrow ZH = a\sqrt{2-\sqrt{3}}}$ .

Ομοίως τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΖ, ΕΘ, ΗΘ έχουν τα ίδια μήκη.

Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδό αποτελείται από 4 κυκλικά τμήματα και ένα τετράγωνο, οπότε έχει εμβαδό:
$\displaystyle{E=4\cdot\frac{a^2(\pi-3)}{12}+ a^2(2-\sqrt{3})=\frac{a^2(\pi-3)+3a^2(2-\sqrt{3})}{3}=\frac{a^2(\pi-3+6-3\sqrt{3})}{3}=\frac{a^2(\pi+3-3\sqrt{3})}{3}}$ .

Eμβαδό

Eμβαδό

Re: Eμβαδό

Re: Eμβαδό

Μέλη σε σύνδεση