Εμβαδόν τραπεζίου !

#1

Μια και αυτόν τον καιρό είμαστε στα εμβαδά - τουλάχιστον στο Σχολείο μας - βάζω και μια ασκησούλα για να περάσουν και τα παιδιά ευχάριστα την ώρα τους ! Αν βάλω και κανα βραβείο - πχ να τους πάμε τετραήμερη - θα ασχοληθούν με περισσότερη χαρά ! Η άσκηση θα μπορούσε να είναι στη Β΄Γυμνασίου, αλλά και για τα μεγάλα βητάκια καλά είναι.

ΑΣΚΗΣΗ
Σε ένα τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι :

ΑΒ=15 , ΒΓ = 12, ΓΔ = 30 και ΔΑ = 9.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου αυτού !

( bonus για τους ...καλούς μαθητές : Όποιος βρει δυο λύσεις , παίρνει και δυο μονάδες παραπάνω στο άλλο τετράμηνο ! .....Κάτι τέτοια κάνουμε πια για να μας προσέξουν στη γεωμετρία, αφού από όλες τις μεριές έχουν πάρει το μήνυμα ότι ''κύριε η γεωμετρία δε χρειάζεται στη Γ΄''! Η αρχή της χρησιμότητας τελικά παρανοήθηκε !Απλά μερικά καλά παιδάκια βλέπουν εμάς που αγαπάμε το μάθημα αυτό και από συμπαράσταση μας ακούνε και βοηθάνε όσο μπορούν ....

)

Μπάμπης

PanosG · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ...αφού από όλες τις μεριές έχουν πάρει το μήνυμα ότι ''κύριε η γεωμετρία δε χρειάζεται στη Γ΄''!...
Μπάμπης

Επειδή το παραπάνω που λέει ο κ. Στεργίου εγώ το έχω ακούσει άπειρες φορές, όπως φαντάζομαι και πολλοί άλλοι, μου δίνετε η αφορμή να ρωτήσω το εξής:
Πως ακριβώς απαντάτε σε ένα μαθητή όπου οι φίλοι του, ο αδερφός του, οι γνωστοί του ή δεν ξέρω κι εγώ ποιος άλλος που πηγαίνουν 3η Λυκείου του λένε ότι "τζάμπα κάνεις γεωμετρία δε θα σου χρειαστεί στις πανελλήνιες μη διαβάζεις καθόλου";
Ή τέλος πάντων πως πείθετε έναν μαθητή ότι θα τον βοηθήσει η μελέτη της Γεωμετρίας και οτι δεν είναι αναγκαίο κακό όπως του λένε όλοι;
Έχω παρατηρήσει και το εξής: Ορισμένοι μαθητές παρόλο που τους αρέσει η γεωμετρία και δείχνουν ενδιαφέρον τελικά απογοητεύονται και τα παρατάνε μιας και μπορεί μέσα στη τάξη τους να είναι οι μοναδικοί και τα παιδιά πολλές φορές δε θέλουν να ξεχωρίζουν.

Ιστοσελίδα · #3

Μπάμπη πότε πάμε τετραήμερη;

1η Λύση:

Από τα ορθογώνια τρίγωνα (φέροντας ΑΕ, ΒΖ κάθετες στην ΓΔ) προκύπτουν οι εξισώσεις: ${9^2} = {\upsilon ^2} + {x^2}$ και ${12^2} = {\upsilon ^2} + {\left( {15 - x} \right)^2}$ .

Λύνοντας το σύστημα προκύπτει x = 5,4

και $\upsilon = 7,2$ άρα το εμβαδόν τραπεζίου είναι: ${\rm E} = \displaystyle\frac{{\left( {15 + 30} \right)7,2}}{2} = 162\tau .\mu .$

: trapezio1.png (58.98 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

2η Λύση:

Από το μέσο Μ της μικρής βάσης ΑΒ φέρω παράλληλες προς τις ΑΔ, ΒΓ και έστω Ε, Ζ τα σημεία τομής με τη μεγάλη βάση ΓΔ.

${\rm E}{\rm Z} = 30 - 2 \cdot 7,5 = 15$ και από αντίστροφο Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει ότι το τρίγωνο ΜΕΖ είναι ορθογώνιο.

Φέρω το ύψος ΜΚ και από το λόγο ομοιότητας στα τρίγωνα ΖΚΜ, ΖΜΕ παίρνω $\upsilon = {\rm M}{\rm K} = \displaystyle\frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2$ . Έτσι το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ${\rm E} = \displaystyle\frac{{\left( {15 + 30} \right)7,2}}{2} = 162\tau .\mu .$

: trapezio2.png (54.86 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

p_gianno · #4

Αν Μ μέσον της ΒΓ τότε ΑΔΕΒ και ΑΕΓΒ παραλληλόγραμμα συνεπώς οι απέναντί τους πλευρές είναι ίσες και προκύπτουν απο π-π-π τρία ίσα και επομένως ισοεμβαδικά τρίγωνα. Διαπιστώνοντας με αντίστροφο πυθαγορείου ότι ένα απο αυτά (πχ το ΕΒΓ) είναι ορθογώνιο προκύπτει (ΕΒΓ)=9*6= 54 συνεπώς (ΑΒΓΔ)=3*54=162
Εναλλακτικά χωρίς αντιστροφο πυθαγορείου μπορει το (ΕΒΓ) να υπολογιστεί με την βοήθεια του τυπου του Ηρωνος.

p_gianno · #5

Εστω Λ η τομή των ΔΑ και ΓΒ. Τότε ΛΑΒ όμοιο ΛΔΓ με λόγο ομοιότητας ΑΒ/ΔΓ=1/2 συνεπώς (ΛΑΒ)/(ΛΔΓ)=1/4. Όμως ΛΑΒ ορθογώνιο στο Λ συνεπώς (ΛΑΒ)=9*6 =54 και (ΑΒΓΔ)=3/4 (ΛΔΓ)=3*54=162.
Ο υπολογισμός του (ΑΛΒ) γίνεται και Ηρωνικά.

#6

ruxumuxu έγραψε:Μπάμπη πότε πάμε τετραήμερη;

Μπάμπη,αν είναι... για εκδρομή... απαντώ κι εγώ

: BABIS-2.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

φέρουμε $BF // AD,\,\,ABFD$ παραλληλόγραμμο , $\hat{FBC}=90^o,\,\,DF=FC=15$

$(FBC)=54,BG=\frac{36}{5},\,\,(ABFD)=108\Longrightarrow (ABCD)=162$

Ιστοσελίδα · #7

Φωτεινή έγραψε: Μπάμπη,αν είναι... για εκδρομή... απαντώ κι εγώ

Για να κατοχυρώσω την εκδρομή

${\rm E}\tau \rho \alpha \pi . = {\rm E}\pi \alpha \rho \alpha \lambda . - {\rm E}\tau \rho \iota \gamma . = 9 \cdot 24 - \displaystyle\frac{{12 \cdot 9}}{2} = 216 - 54 = 162\tau .\mu .$

#8

Επειδή δεν βλέπω

να ξεκινά αυτή η εκδρομή, ... μάλλον περιμένει ο Μπάμπης της ΑναλυτικοΓεωμετρική λύση.

: 03-02-2011 Γεωμετρία.jpg (9.93 KiB) Προβλήθηκε 1006 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Δ(0, 0) παίρνουμε τα σημεία Γ(30, 0), Α(α, β) και Β(15+α, β), α, β > 0

ώστε $\displaystyle \left( {A \Delta} \right) = \sqrt {\alpha ^2 + \beta ^2 } = 9 \Rightarrow \alpha ^2 + \beta ^2 = 81\;\;\;(1)$

και $\displaystyle \left( {B\Gamma } \right) = \sqrt {\left( {\alpha - 15} \right)^2 + \beta ^2 } = 12 \Rightarrow \alpha ^2 - 30\alpha + \beta ^2 = - 81\;\;(2)$

Το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με ΑΒ=15 , ΒΓ = 12, ΓΔ = 30 και ΔΑ = 9.

Από (1) και (2) έχουμε: $\displaystyle \alpha = \frac{{162}}{{30}} = 5,4$ , οπότε $\displaystyle \beta ^2 = 81 - 5,4^2 = 51,84 \Rightarrow \beta = 7,2$ .

Οπότε το ύψος του ΑΒΓΔ είναι $\displaystyle \upsilon = 7,2$ άρα $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \frac{{30 + 15}}{2} \cdot 7,2 = 162\;\tau .\mu .$

edti: Διόρθωσα στην ισότητα (1) ΑΔ αντί για ΑΒ που είχα γράψει. Ευχαριστώ τον μαθητή Αντώνη Νασούλα, που έκανε τη διόρθωση (και μάλιστα σε ώρα κατάλληλη για μαθητές

)

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ
Σε ένα τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι :

ΑΒ=15 , ΒΓ = 12, ΓΔ = 30 και ΔΑ = 9.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου αυτού !

Τώρα Μπάμπη θέσε και το αντίστροφο, δηλ.

Σε ένα τραπέζιο με βάσεις ΑΒ και ΓΔ είναι : ΑΒ = 5x , ΒΓ = 2ΑΒ , ΑΔ = 3x και 3ΒΓ = 4ΑΔ όπου x > 0, αν το εμβαδόν του είναι 162 τ.μ βρείτε το x.

Και επειδή είναι Β Λυκείου μπορούμε να ρωτήσουμε (ενδεικτικά δίνω 2 υποερωτήματα)

β) Βρείτε τις διαγώνιες του τραπεζίου ΑΓ και ΒΔ.

γ) Αν cos53^0= 3/5

, βρείτε τις γωνίες του τραπεζίου

#10

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Επειδή δεν βλέπω να ξεκινά αυτή η εκδρομή, ... μάλλον περιμένει ο Μπάμπης της ΑναλυτικοΓεωμετρική λύση.
........................

Τελικά ... τυχερή θα είναι η Τρίπολη που θα δεχθεί τους μαθητές της Β΄Λυκείου !
Μπορεί τα παιδιά να μην βρήκαν δεύτερη λύση,αλλά και για τη μία που βρήκαν καλά είναι !
Η εκδρομή έκλεισε για μέσα Μάρτη.
Μέχρι τότε θα βρω ευκαιρία να ξαναβάλω καμιά ωραία και απλή άσκηση , εκτός βιβλίου.

Α! Έχουμε στην Τρίπολη εκπρόσωπο του mathematica .... για να οργανώσει τις εξόδους ;

Μπάμπης

Εμβαδόν τραπεζίου !

Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Re: Εμβαδόν τραπεζίου !

Μέλη σε σύνδεση