Κανονικό Δωδεκάγωνο.

#1

α. Tα μέσα των πλευρών τετραγώνου είναι τέσσερες από τις κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου που περιέχεται στο εσωτερικό του, όπως στο συνημμένο σχήμα.
Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό της περιοχής που περιλαμβάνεται μεταξύ του τετραγώνου και του δωδεκαγώνου είναι το ένα τρίτο του εμβαδού του δωδεκαγώνου.
β. Κανονικό δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1μ. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του είναι 3τμ.

#2

rek2 έγραψε:α. Tα μέσα των πλευρών τετραγώνου είναι τέσσερες από τις κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου που περιέχεται στο εσωτερικό του, όπως στο συνημμένο σχήμα.
Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό της περιοχής Ω που περιλαμβάνεται μεταξύ του τετραγώνου και του δωδεκαγώνου είναι το ένα τρίτο του εμβαδού του δωδεκαγώνου.
β. Κανονικό δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1μ. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδό του είναι 3τμ.

έστω το κανονικό 12-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) , το τετράγωνο έχει πλευρά 2R
γνωρίζουμε ότι $\boxed{\lambda^2_{2\nu}=2R(R-a_{\nu})}$ , $a_{\nu}-->$ απόστημα νι-γώνου,, $\lambda_{2\nu}-->$ πλευρά 2ν-γώνου

$\lambda^2_{12}=2R(R-a_{6})$ , $R^2=a^2_{\nu}+(\frac{\lambda_{\nu}}{2})^2$

$\lambda_{12}=R\sqrt{2-\sqrt {3}}$ , $a_{12}=\frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

το εμβαδό του 12-γώνου είναι $E_{12}=3R^2$
το εμβαδό του Ω είναι $E(\Omega)=(2R)^2-E_{12}=R^2--->E(\Omega)=\frac{1}{3}E_{12}$

#3

Μία ''οπτική'' λύση, στο τεταρτημότιο του κανονικού δωδεκαγώνου.

Κώστας Βήττας.

#4

Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.

Γιωργος Μπαλογλου

#5

gbaloglou έγραψε:Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.

Γιώργο με πρόλαβες.

$S_{12} = 12\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\ \frac{1}{2} = 3$

Κώστας Βήττας.

#6

gbaloglou έγραψε:Το (β) βγαινει και χωρις την χρηση του τετραγωνου: δυο τυχουσες *γειτονικες* 'φετες' του κανονικου δωδεκαγωνου μαζι δημιουργουν ενα τετραπλευρο με καθετες διαγωνιους μηκους 1 η καθε μια, οποτε το εμβαδον του ειναι (1/2)*1*1 = 1/2, και πολλαπλασιαζοντας επι 6 (τετοια τετραπλευρα) λαμβανουμε 3.

Γιωργος Μπαλογλου

άρα έτσι μπορούμε να βρούμε το εμβαδό του 12-γώνου=6*(1/2)*R*R=3*R^2,χωρίς τυπους !!!(αφού οι κάθετες διαγώνιοι είναι ίσες με R)

Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Re: Κανονικό Δωδεκάγωνο.

Μέλη σε σύνδεση