Βρείτε το εμβαδόν (14)

Ιστοσελίδα · #1

: area14new.png (33.73 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Edit: Δίνεται επίσης ότι ΑΓ = ΓΖ, ευχαριστώ τον Κώστα Δόρτσιο και τον KARKAR για τα προσωπικά τους μηνύματα - ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία...

#2

Δεν είχα λάβει υπόψη την προσθήκη και διερεύνησα το πρόβλημα του Μιχάλη στην αρχική του διατύπωση!
Θα επανέλθω, μετά τις αναμενόμενες όμορφες (κι αυτές...) γεωμετρικές λύσεις!

: 08-2-2011 Γεωμετρία.jpg (21.45 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο $\displaystyle \Gamma \left( {0,\;0} \right)$
παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle {\rm B}\left( {\alpha ,\;0} \right)$ και $\displaystyle A\left( {\frac{\alpha }{2},\;\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2}} \right)$ , α > 4.

Το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τρίγωνο με κέντρο βάρους $\displaystyle \Delta \left( {\frac{\alpha }{2},\;\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}} \right)$ .

Έστω σημείο $\displaystyle {\rm E}\left( {2,\;0} \right)$ και Κ η προβολή του Δ στον Οx.

Είναι $\displaystyle \varepsilon \phi \left( {\Delta {\rm E}{\rm B}} \right) = \frac{{\Delta {\rm K}}}{{{\rm E}{\rm K}}} = \frac{{\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}}}{{\frac{\alpha }{2} - 2}} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{3\left( {\alpha - 4} \right)}}$

Διερεύνηση:

Αν 4 < α < 6, τότε $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm E}{\rm B}} > 60^\circ$ οπότε η ΔΕ και η ΑΓ τέμνονται στην προέκταση της ΓΑ.

Αν α = 6, τότε είναι παράλληλες, είτε από το Θ. Θαλή για $\displaystyle \frac{{\Gamma {\rm E}}}{{{\rm E}\Delta }} = \frac{2}{3} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta {\rm K}}}$ είτε επειδή $\displaystyle \varepsilon \phi \left( {\Delta {\rm E}{\rm B}} \right) = \sqrt 3 \Rightarrow \;\widehat{\Delta {\rm E}{\rm B}} = 60^\circ = \widehat\Gamma$ (δεν χρειαζόταν ο δεύτερος τρόπος, αλλά το χούι δεν μ' αφήνει....)

Αν α > 6, τότε $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm E}{\rm B}} < 60^\circ$ και οι ΔΕ, ΑΓ τέμνονται στην προέκταση της ΑΓ.

Η ΓΑ έχει εξίσωση: $\displaystyle y = \sqrt 3 x$ και η ΔΕ $\displaystyle y = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{3\left( {\alpha - 4} \right)}}\left( {x - 2} \right)$

Τέμνονται στο $\displaystyle Z\left( {\frac{\alpha }{{6 - \alpha }},\;\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{6 - \alpha }}} \right)$

Το εμβαδό του ΓΕΖ είναι: $\displaystyle \left( {\Gamma {\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left| {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{6 - \alpha }}} \right| = \left| {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{6 - \alpha }}} \right| = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{\alpha - 6}}$ .

edit:
Συμπληρώνω για λόγους πληρότητας τη λύση με τη συνθήκη ΓΖ = α.

Αφού $\displaystyle \Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm Z} \Rightarrow \frac{\alpha }{{6 - \alpha }} = - \frac{\alpha }{2} \Rightarrow \alpha = 8$ (λόγω συμμετρίας).

Οπότε $\displaystyle \left( {\Gamma {\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{1}{2}\Gamma {\rm E} \cdot \Gamma {\rm Z} \cdot \eta \mu 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3$

Ιστοσελίδα · #3

Φέρνουμε $\varGamma K , ZN$ κάθετες στην ευθεία $B\varGamma$ και το ύψος

του τριγώνου.
Τα τρίγωνα $AM\varGamma$ και $ZN\varGamma$ είναι ίσα, οπότε ZN=AM.

Τα τρίγωνα $\varDelta ME$ και ZNE

είναι όμοια, με $\dfrac{\varDelta E}{EZ}=\dfrac{\varDelta M}{ZN} = \dfrac{\varDelta M}{AM} = \dfrac{1}{3}.$ Άρα $EZ=3\varDelta E .$

Είναι $\varGamma K//AM ,$ και $\varGamma$ μέσο του AZ.

Τότε στο τρίγωνο $A\varDelta Z$ το

θα είναι το μέσο του $\varDelta Z.$

Επομένως $\varDelta E=EK$ και τα τρίγωνα $\varDelta ME , E\varGamma K$ είναι ίσα με $ME=E\varGamma = 2.$
Τότε $B\varGamma = 8 \; , \; ZN = AM = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}.$

$(E\varGamma Z) = \dfrac{1}{2}E\varGamma \cdot ZN = \dfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$

#4

Ας δούμε και μια λύση (βλέποντας το παραπάνω σχήμα, αλλά χωρίς να φέρουμε την ΓΚ):
Από την ισότητα των τριγώνων ΑΜΓ και ΓΝΖ έχουμε ότι ΓΝ=ΜΓ=α/2 (όπου α η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ).
Επίσης είναι ΖΝ=ΑΜ.
Από τα όμοια τρίγωνα ΔΜΕ και ΕΝΖ έχουμε ΜΕ/ΕΝ =ΔΜ/ΖΝ άρα (α/2 -2)/(α/2+2) = ΔΜ/ΑΜ =1/3
Άρα 3(α/2 -2)=α/2 +2 από όπου προκύπτει α=8. Άρα $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$
Άρα το εμβαδόν είναι $E=\frac{1}{2}.2.4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Ιστοσελίδα · #5

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας. Να δώσω ακόμα μία Γεωμετρική.

Φέρω τις διαμέσους - ύψη ΑΜ, ΒΝ και την ΔΚ // ΒΓ. Αν θέσω ${\rm A}\Gamma = \Gamma {\rm Z} = 6x$ , τότε $\Delta {\rm N} = \Delta {\rm M} = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{{\sqrt 3 \cdot 6x}}{2} = \sqrt 3 x$ , ${\rm N}{\rm K} = x$ και ${\rm K}\Gamma = {\rm K}\Delta = 2x$ .

Τα τρίγωνα ΖΓΕ, ΖΚΔ είναι όμοια, οπότε από λόγο ομοιότητας θα έχω: $\displaystyle\frac{{6x}}{{8x}} = \displaystyle\frac{2}{{2x}} \Rightarrow x = \displaystyle\frac{4}{3}\,\,(1)$ .

Θα ισχύει: $\left( {\Gamma {\rm E}{\rm Z}} \right) = \left( {\Gamma \Delta {\rm Z}} \right) - \left( {\Gamma \Delta {\rm E}} \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 6x \cdot \sqrt 3 x - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt 3 x\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \left( {\Gamma {\rm E}{\rm Z}} \right) = 4\sqrt 3 \tau .\mu .$

#6

Πάντως, (στο σχήμα του Μιχάλη) με θεώρημα Μενελάου, στο τρίγωνο ΑΜΓ με διατέμνουσα την ΔΕΖ προκύπτει απ' ευθείας ΜΕ=2.
Το ζητούμενο εμβαδό είναι (ΑΒΓ)/4, αφού π.χ. είναι ισοδύναμο με το (ΑΜΕ).

#7

Και μια τριγωνομετρική λύση

: 08-2-2011 Γεωμετρία β.jpg (15.02 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Έστω α η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου. Έστω ΑΚ το ύψος του και Δ το βαρύκεντρο.

Είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm K} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {\rm A}\Delta = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3},\;\Delta {\rm K} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}$

Έστω $\displaystyle \widehat{{\rm K}{\rm E}\Delta } = \phi \Rightarrow \;\varepsilon \phi \phi = \frac{{\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}}}{{\frac{\alpha }{2} - 4}} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{3\left( {\alpha - 4} \right)}}$

Στο ΑΔΖ είναι:

$\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{\eta \mu \Delta }} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu {\rm Z}}} \Rightarrow \frac{{2\alpha }}{{\eta \mu \left( {90^\circ + \phi } \right)}} = \frac{{\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}}}{{\eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right)}} \Rightarrow \frac{2}{{\sigma \upsilon \nu \phi }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{3\eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right)}}$

$\displaystyle \Rightarrow 6\eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right) = \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \phi \Rightarrow \;3\sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \phi - 3\eta \mu \phi = \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \phi \Rightarrow \varepsilon \phi \phi = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

Οπότε $\displaystyle \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{{3\left( {\alpha - 4} \right)}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha = 8$ , οπότε: $\displaystyle \left( {\Gamma {\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{1}{2}\Gamma {\rm E} \cdot \Gamma {\rm Z} \cdot \eta \mu 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3$

Βρείτε το εμβαδόν (14)

Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (14)

Μέλη σε σύνδεση