Κύκλος τετράγωνο
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Κύκλος τετράγωνο
Το τετράγωνο στο διπλανό σχήμα έχει πλευρά 1. Ο μεγάλος κύκλος έχει κέντρο μια κορυφή του τετραγώνου και ακτίνα 1. Ο μικρός εφάπτεται του τετραγώνου και του μεγάλου κύκλου. Πόση είναι η ακτίνα του μικρού κύκλου;
Καγκουρό.
Εφόσον είναι θέμα ενός Διαγωνισμού όπως ο Καγκουρό μπορείτε ελεύθερα (παρά την τοποθέτηση σε συγκεκριμένο φάκελο) να χρησιμοποιήσετε ότι εργαλεία θέλετε!
___________________________
Τετράγωνο - κύκλος - Καγκουρό
___________________________
Από παλαιότερο διαγωνισμό Εφόσον είναι θέμα ενός Διαγωνισμού όπως ο Καγκουρό μπορείτε ελεύθερα (παρά την τοποθέτηση σε συγκεκριμένο φάκελο) να χρησιμοποιήσετε ότι εργαλεία θέλετε!
___________________________
Τετράγωνο - κύκλος - Καγκουρό
___________________________
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Φεβ 13, 2011 8:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κύκλος τετράγωνο
Μία λύση με ραδιοφωνική περιγραφή,ως συνήθως...
Η διαγώνιος του τετραγώνου είναι .
Τότε αν ρ η ακτίνα του μικρού κύκλου και χ το μήκος του τμήματος που συνεχίζει(!) μέχρι το άκρο της διαγωνίου, έχω:
(1)
Όμως,απο το πυθαγόρειο θεώρημα έχω πως:
Αντικαθιστώντας στην (1) έχω μετά απο πράξεις:
Υ.Γ:Ξέχασα να θίξω πως τα παραπάνω εξελίσσονται λόγω της συμμετρίας που διέπει το σχήμα ως
προς τη διάκεντρο των δύο κύκλων.
Η διαγώνιος του τετραγώνου είναι .
Τότε αν ρ η ακτίνα του μικρού κύκλου και χ το μήκος του τμήματος που συνεχίζει(!) μέχρι το άκρο της διαγωνίου, έχω:
(1)
Όμως,απο το πυθαγόρειο θεώρημα έχω πως:
Αντικαθιστώντας στην (1) έχω μετά απο πράξεις:
Υ.Γ:Ξέχασα να θίξω πως τα παραπάνω εξελίσσονται λόγω της συμμετρίας που διέπει το σχήμα ως
προς τη διάκεντρο των δύο κύκλων.
Χρήστος Κυριαζής
Re: Κύκλος τετράγωνο
Αν το κέντρο του μεγάλου κύκλου εύκολα προκύπτει ότι το σημείο επαφής των κύκλων είναι το .
Αν το κέντρο του μικρού τότε : .
(διότι το ισαπέχει από την ευθεία και από το , η ακτίνα του μικρού) .
Αν το κέντρο του μικρού τότε : .
(διότι το ισαπέχει από την ευθεία και από το , η ακτίνα του μικρού) .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κύκλος τετράγωνο
Γενικότερα, αν είναι η απόσταση από το κέντρο κύκλου ακτίνας ως το σημείο από το οποίο άγονται δύο όχι κατ' ανάγκην κάθετες εφαπτόμενες, τότε εύκολα προκύπτει (όμοια τρίγωνα) ότι η ακτίνα του μικρού κύκλου ισούται προς .
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3535
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Κύκλος τετράγωνο
Από το λόγο ομοιότητας των τριγώνων ΑΒΓ, ΑΔΕ ( από πυθαγόρειο) προκύπτει: .
Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Γιώργος, την αφήνω για τον κόπο.
Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Γιώργος, την αφήνω για τον κόπο.
- Συνημμένα
-
- square.jpg (63.04 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κύκλος τετράγωνο
Ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις σας και την προέκταση - γενίκευση (του Γιώργου).
Δίνω ακόμα μια παρόμοια με τις λύσεις με την ομοιότητα τριγώνων.
Είναι , διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1.
Είναι
Στο ΑΒΚ
Δόθηκε στον Καγκουρό 2009 επίπεδο 11-12 (Β΄- Γ΄ Λυκείου).
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ:
Ήθελα με αφορμή αυτήν την άσκηση να θέσω ένα ερώτημα:
Αν το θέμα δινόταν ως πρόβλημα πλήρους ανάπτυξης, το ότι η διάκεντρος ανήκει στη διαγώνιο του τετραγώνου θα έπρεπε να αποδειχτεί ή θεωρείται δεδομένο (τετριμμένο) και δεν αφαιρεί μονάδες από τον λύτη;
Όταν το πρόβλημα συνοδεύεται από απαντήσεις πολλαπλής επιλογής (αναγκαίο κακό σε διαγωνισμούς ευρείας κλίμακας όπως ο Καγκουρό), δεν τίθεται θέμα, εφόσον η επεξεργασία γίνεται στο πρόχειρο.
Εδώ, όμως, που δίνουμε πλήρεις απαντήσεις, τι λέτε, χρειάζεται και σε ποιο βαθμό να αποδεικνύουμε κάποια σημεία όπως το παραπάνω, που δεν περιέχονται αυτούσια π.χ. στο σχολικό βιβλίο, που θεωρείται οδηγός.
Θέλοντας να προλάβω, απόψεις γνωστές και σεβαστές, για την αναγκαιότητα της πλήρους και ορθής αποδεικτικής διαδικασίας σε κάθε βήμα μας, θέλω να τονίσω ότι ο προβληματισμός μου αφορά μόνον το ενδεχόμενο μια εύκολη ενδιάμεση απόδειξη, όπως αυτή που ανάφερα παραπάνω, να κουράσει τον λύτη που αναζητά την αναμέτρηση με την ουσία του προβλήματος, που επιζητά την άγρια χαρά της στιγμιαίας ανακάλυψης του λεπτού σημείου που ξεγυμνώνει τη λύση του προβλήματος κι όχι με την κουραστική διαδικασία της πλήρως διατυπωμένης και ορθά διαρθρωμένης απάντησης.
Θα χαρώ να διαβάσω τις απόψεις σας.
Δίνω ακόμα μια παρόμοια με τις λύσεις με την ομοιότητα τριγώνων.
Είναι , διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1.
Είναι
Στο ΑΒΚ
Δόθηκε στον Καγκουρό 2009 επίπεδο 11-12 (Β΄- Γ΄ Λυκείου).
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ:
Ήθελα με αφορμή αυτήν την άσκηση να θέσω ένα ερώτημα:
Αν το θέμα δινόταν ως πρόβλημα πλήρους ανάπτυξης, το ότι η διάκεντρος ανήκει στη διαγώνιο του τετραγώνου θα έπρεπε να αποδειχτεί ή θεωρείται δεδομένο (τετριμμένο) και δεν αφαιρεί μονάδες από τον λύτη;
Όταν το πρόβλημα συνοδεύεται από απαντήσεις πολλαπλής επιλογής (αναγκαίο κακό σε διαγωνισμούς ευρείας κλίμακας όπως ο Καγκουρό), δεν τίθεται θέμα, εφόσον η επεξεργασία γίνεται στο πρόχειρο.
Εδώ, όμως, που δίνουμε πλήρεις απαντήσεις, τι λέτε, χρειάζεται και σε ποιο βαθμό να αποδεικνύουμε κάποια σημεία όπως το παραπάνω, που δεν περιέχονται αυτούσια π.χ. στο σχολικό βιβλίο, που θεωρείται οδηγός.
Θέλοντας να προλάβω, απόψεις γνωστές και σεβαστές, για την αναγκαιότητα της πλήρους και ορθής αποδεικτικής διαδικασίας σε κάθε βήμα μας, θέλω να τονίσω ότι ο προβληματισμός μου αφορά μόνον το ενδεχόμενο μια εύκολη ενδιάμεση απόδειξη, όπως αυτή που ανάφερα παραπάνω, να κουράσει τον λύτη που αναζητά την αναμέτρηση με την ουσία του προβλήματος, που επιζητά την άγρια χαρά της στιγμιαίας ανακάλυψης του λεπτού σημείου που ξεγυμνώνει τη λύση του προβλήματος κι όχι με την κουραστική διαδικασία της πλήρως διατυπωμένης και ορθά διαρθρωμένης απάντησης.
Θα χαρώ να διαβάσω τις απόψεις σας.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κύκλος τετράγωνο
Γιώργο εγώ δυστυχώς με την ακαματοσύνη που έχω όσον αφορά τη χρήση των Η/Υ περιέγραψα
(με μπόλικο αυτοσαρκασμό) τη λύση μου αφού στερούμαι της δυνατότητας να παράγω ένα σχήμα
της προκοπής. Ντρέπομαι που το λέω, μα είναι η αλήθεια και πρέπει να λέγεται.
Εγώ πιστεύω πως, ναι πρέπει αυτό το σημείο να το θίξουμε περαιτέρω, αν κι εγω δεν το έκανα!
(με μπόλικο αυτοσαρκασμό) τη λύση μου αφού στερούμαι της δυνατότητας να παράγω ένα σχήμα
της προκοπής. Ντρέπομαι που το λέω, μα είναι η αλήθεια και πρέπει να λέγεται.
Εγώ πιστεύω πως, ναι πρέπει αυτό το σημείο να το θίξουμε περαιτέρω, αν κι εγω δεν το έκανα!
Χρήστος Κυριαζής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κύκλος τετράγωνο
Χρήστο, πράγματι, την ιδέα για το παραπάνω κείμενο μου την έδωσε το θαυμαστικό που έβαλες στη λέξη συνεχίζει (το οποίο επεξήγησες με τη συμμετρία του σχήματος στο Υστερόγραφο).
Ο προβληματισμός μου είναι γενικότερος για τέτοιες περιπτώσεις.
Εδώ, θα αρκούσε η αναφορά στο ότι το σχήμα είναι συμμετρικό ή π.χ. στο ότι το Α είναι ταυτόχρονα αρχή των ημιευθειών που εφάπτονται και στους δύο κύκλους οπότε η διάκεντρος διέρχεται από το Α ή θα έπρεπε να κάνουμε αναλυτική απόδειξη.
Ο προβληματισμός μου είναι γενικότερος για τέτοιες περιπτώσεις.
Εδώ, θα αρκούσε η αναφορά στο ότι το σχήμα είναι συμμετρικό ή π.χ. στο ότι το Α είναι ταυτόχρονα αρχή των ημιευθειών που εφάπτονται και στους δύο κύκλους οπότε η διάκεντρος διέρχεται από το Α ή θα έπρεπε να κάνουμε αναλυτική απόδειξη.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Κύκλος τετράγωνο
Γιώργο όχι!
Το θαυμαστικό είναι αυτοσαρκασμός.Με λίγα λόγια ντρέπομαι που χρησιμοποιώ αυτήν την έκφραση
(''το μήκος του τμήματος που συνεχίζει...''), κάτι που θα το δικαιολογούσα πολύ καλύτερα με ένα σχήμα.
Μία ωραία δικαιολόγηση,κατά την ταπεινή μου άποψη για το ότι η διάκεντρος είναι πάνω στη διαγώνιο
του τετραγώνου έχει να κάνει με το ότι η διαγώνιος του τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του.
'Αρα κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει απο τις πλευρές της γωνίας.Έτσι κάνουν και τα δύο κέντρα των κύκλων.
Το θαυμαστικό είναι αυτοσαρκασμός.Με λίγα λόγια ντρέπομαι που χρησιμοποιώ αυτήν την έκφραση
(''το μήκος του τμήματος που συνεχίζει...''), κάτι που θα το δικαιολογούσα πολύ καλύτερα με ένα σχήμα.
Μία ωραία δικαιολόγηση,κατά την ταπεινή μου άποψη για το ότι η διάκεντρος είναι πάνω στη διαγώνιο
του τετραγώνου έχει να κάνει με το ότι η διαγώνιος του τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του.
'Αρα κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει απο τις πλευρές της γωνίας.Έτσι κάνουν και τα δύο κέντρα των κύκλων.
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες