Τρίχορδο

KARKAR · #1

Δίνεται κύκλος με κέντρο

, και δύο ακτίνες του OA , OB

.

Να κατασκευαστεί χορδή $\Gamma \Delta$ , η οποία να τριχοτομείται από τις δοθείσες ακτίνες.

#2

Η ζητούμενη χορδή έχει μέσο το σημείο Ν το οποίο θα είναι και το μέσο της βάσης ΕΖ
του τριγώνου ΟΕΖ. Έτσι η ΟΝ που ενώνει το κέντρο του κύκλου με το μεσο της χορδής αυτής θα έναι διάμεσος και ύψος
και συνεπώςτο τρίγωνο ΕΟΖ θα είναι ισοσκελές με κορυφή το Ο. Άρα η χορδή ΓΔ είναι κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας ΑΟΒ.

Ζητούμε λοιπόν ποια από τις χορδές που είναι κάθετες στη διχοτόμο της ΑΟΒ τριχοτομείται από τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ.
Έστω πως αυτή είναι η ΓΔ που τέμνει την ακτίνα στο Ε ώστε ΟΕ=Χ. Τότε ΑΕ=R-X όπου R η ακτίνα του κύκλου.
Άρα:
$\displaystyle\Gamma E.E\Delta =HE.EA\Rightarrow \ 2\lambda ^2=\left(R+x \right)\left(R-x \right)\Rightarrow$
$\displaystyle \ 2\lambda ^2=R^2-x^2\Rightarrow x^2=R^2-2\lambda ^2\ \ (1)$
Όμως από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΕΖ θα είναι επίσης:
$\displaystyle EZ^2=OE^2+OZ^2-2OE.OZ.cos(\hat{EOZ})\Rightarrow \lambda ^2=2x^2-2x^2cos\omega$
κι ακόμα:
$\displaystyle \lambda ^2=2x^2(1-(1-2sin^2\frac{\omega }{2}))=4x^2sin^2\left(\frac{\omega }{2} \right)\ \ (2)$
όπου:
$\displaystyle \hat{\omega }=\hat{\left(AOB \right)}$
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle x=R\sqrt{\frac{1}{1+8sin^2\frac{\omega }{2}}}$

Η τιμή αυτή προσδιορίζει και τη θέση του σημείου Ε από το οποίο φέροντας την κάθετη
προς τη διχοτόμο της ΑΟΒ χαράσσουομε την ζητούμενη χορδή.

#3

Οι ευθείες $OC,\ OD,$ τέμνουν την ευθεία AB,

στα σημεία έστω $X,\ Y,$ αντιστοίχως.

Από $CD\parallel EZ$ και CE = EZ = ZD

, σύμφωνα με το θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι XA = AB = BY

και άρα τα $X,\ Y,$ είναι σταθερά σημεία επί της ευθείας

και το πρόβλημα έχει λυθεί, γιατί τα $C,\ D$ προκύπτουν αντιστρόφως, ως τα σημεία τομής του κύκλου (O),

από τις ευθείες $OX,\ OY,$ αντιστοίχως.

Κώστας Βήττας.

#4

: 13-02-2011 Γεωμετρία d.jpg (26.61 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Έστω ΟΚ το απόστημα στη χορδή ΑΒ, οπότε $\displaystyle {\rm A}{\rm K} = {\rm K}{\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}$ .

Έστω 2φ η γωνία των ΑΟ και ΟΒ.
Τότε $\displaystyle \varepsilon \phi \phi = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm O}{\rm K}}}$ .

Προεκτείνω τη χορδή ΑΒ κατά ΑΛ = ΑΒ και κατά ΒΜ = ΑΒ.

Φέρνω τις ΟΛ και ΟΜ που τέμνουν τον κύκλο στα Γ και Δ αντίστοιχα.
Φέρνω τη ΓΔ που τέμνει τις ΟΑ και ΟΒ στα Ε και Ζ αντίστοιχα.
Τότε $\displaystyle \varepsilon \phi \Lambda {\rm O}{\rm K} = \frac{{\Lambda {\rm K}}}{{{\rm O}{\rm K}}} \Rightarrow \varepsilon \phi \Lambda {\rm O}{\rm K} = 3\varepsilon \phi \phi \Rightarrow \Gamma {\rm N} = 3{\rm E}{\rm N} \Rightarrow \Gamma {\rm E} = 2{\rm E}{\rm N} = {\rm E}{\rm Z}$

Ομοίως και $\displaystyle \Delta {\rm Z} = {\rm E}{\rm Z}$ , οπότε οι ακτίνες ΟΑ και ΟΒ τριχοτομούν τη χορδή ΓΔ.

(Λύνεται, ασφαλώς και με ομοιότητα, αλλά ... καλό είναι κι έτσι...)
Το πρόβλημα έχει πάντα λύση εκτός αν Α, Β αντιδιαμετρικά.

KARKAR · #5

Η άσκηση είναι από το βιβλίο : "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΣ) -Ι. ΙΩΑΝΝΙΔΗ , έκδοση 1968.

#6

: 3chords.jpg (13.46 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Διαλέγουμε ένα σημείο Ε στην ΟΒ. Από το Ε φέρνουμε κάθετη στην διχοτόμο ΟΓ της γωνίας $\widehat{AOB}$ που τέμνει την ΟΑ στο F. Σημειώνουμε με Ε' το συμμετρικό του Ε ως προς F. H OE' τέμνει τον κύκλο στο G. Από το G φέρνουμε κάθετη στην ΟΓ που τέμνει τις ΟΑ και ΟΒ στα L,K και τον κύκλο στο Η. Η χορδή GH είναι η ζητούμενη: Από τα όμοια ΟΕ'F και ΟGL είναι $\frac{E^{\prime }F}{GL}=\frac{OF}{OL}$ ενώ από τα όμοια ΟFE, ΟLK είναι $\frac{OF}{OL}=\frac{FE}{LK}$ . Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και λαμβάνοντας υπ΄όψιν ότι $FE=FE^{\prime }$ βρίσκουμε ότι LG=LK

. Λόγω συμμετρίας θα είναι και LK=KH

.
Μαυρογιάννης

Τρίχορδο

Τρίχορδο

Re: Τρίχορδο

Re: Τρίχορδο

Re: Τρίχορδο

Re: Τρίχορδο

Re: Τρίχορδο

Μέλη σε σύνδεση