Τα Α,Ε,Κ ψηλά

KARKAR · #1

Κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές A , B

τριγώνου

τέμνει την πλευρά

στο

και τη διάμεσο

στο

. Να δειχθεί ότι : $c^{2}+aBD=2BE.BK$

Διορθώθηκαν το $a^{2}, b$ σε $c^{2}, a$ . Συγγνώμη για την ταλαιπωρία ! (Σπανίως τα Α, Ε, Κ βρίσκονται ψηλά !)

#2

Από το πρώτο θεώρημα της διαμέσου έχουμε:
$\displaystyle c^2+a^2=2(BK)^2+\frac{b^2}{2}\Rightarrow 4(BK)^2=2(c^2+a^2)-b^2\ \ (1)$
Επίσης είναι:
$\displaystyle \left(CB \right)\left(CD \right)=\left(CA \right)\left(CN \right)\Rightarrow a\left(a-BD \right)=b\left(\frac{b}{2}+(KN) \right)$
$\displaystyle \Rightarrow a^2-a(BD)=\frac{b^2}{2}+b\left(KN \right)$
$\displaystyle \Rightarrow a(BD)=a^2-\frac{b^2}{2}-b\left(KN \right)\ \ (2)$
Τέλος:
$\displaystyle \left(BE \right)\left(BK \right)=\left(BK \right)\left(BK-KE \right)=\left(BK \right)^2-\left(BK \right)\left(KE \right)$
οπότε:
$\displaystyle \left(BE \right)\left(BK \right)=\left(BK \right)^2-\left(KA \right)\left(KN \right)=\left(BK \right)^2-\frac{b}{2}\left(KN \right)$
Δηλαδή:
$\displaystyle \left(BE \right)\left(BK \right)=\left(BK \right)^2-\frac{b}{2}\left(KN \right)\ \ (3)$
Επομένως σύμφωνα με τις (1), (2) και (3) η ζητούμενη σχέση γίνεται:
$\displaystyle c^2+a\left(BD \right)=2\left(BE \right)\left(BK \right)\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow c^2+a^2-\frac{b^2}{2}-b(KN)=2(BK)^2-b(KN)\\\Leftrightarrow c^2+a^2-\frac{b^2}{2}-b(KN)=c^2+a^2-\frac{b^2}{2}-b(KN)$
η οποία ισχύει.

KARKAR · #3

Μιά άλλη αντιμετώπιση ... Αν

μέσο της

, τότε τα τρίγωνα AED , BKM

είναι όμοια

(λόγω του εγγεγραμμένου AEDB

) στο οποίο ισχύει ( Θ. Πτολεμαίου ) : AB.ED+AE.BD=AD.BE

(1)

δηλαδή : $\displaystyle\frac{AD}{BK}=\frac{AE}{BM}=\frac{ED}{KM}=k$ , οπότε : AD=kBK , AE=kBM , ED=kKM

και λόγω της (1) : $\displaystyle k.AB.KM+k.BM.BD=k.BK.BE\Rightarrow AB\frac{AB}{2}+\frac{a}{2}BD=BE.BK$

και διπλασιάζοντας προκύπτει $c^{2}+a.BD=2BE.BK$ , δηλαδή η αποδεικτέα .

Τα Α,Ε,Κ ψηλά

Τα Α,Ε,Κ ψηλά

Re: Τα Α,Ε,Κ ψηλά

Re: Τα Α,Ε,Κ ψηλά

Μέλη σε σύνδεση