ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

mathfinder · #1

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC ( $\hat{B}=90^{0}$ ) έχει πλευρές 3 , 4 και 5 . Ξεκινώντας από το Β φέρνουμε την κάθετη προς την πλευρά AC , από το ίχνος της την κάθετη προς την BC και συνεχίζουμε τη διαδικασία άπειρες φορές , όπως στο σχήμα.
Να υπολογιστεί το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας.
(Από κινέζικο διαγωνισμό)

#2

Έστω
$\displaystyle E_1,E_2, E_3,...$
τα εμβαδά των λευκών τριγώνων που σημειώθηκαν στο σχήμα μας
και
$\displaystyle E_0=\frac{1}{2}ac=6\tau .\mu .$
το εμβαδόν του τριγώνου ABC.
Τότε:
$\displaystyle \frac{E_1}{E_0}=\frac{AB.AD}{AB.AC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AD.AC}{AC^2}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC} \right)^2$
Δηλαδή:
$\displaystyle \frac{E_1}{E_0}=\left(\frac{3}{5} \right)^2\Rightarrow E_1=E_0.\left(\frac{3}{5} \right)^2$
όμοια έχουμε:
$\displaystyle E_2=E_1.\left(\frac{16}{25} \right)^2$ (*)
$\displaystyle E_3=E_2.\left(\frac{16}{25} \right)^2$
κλπ.
Άρα:τα $\displaystyle E_1,E_2, E_3,...$ αποτελούν διαδοχικούς όρους απολύτως φθίνουσας γ.π.
με πρώτο όρο τον $\displaystyle E_1$ και λόγο τον $\displaystyle \omega =\frac{16}{25}<1$
Συνεπώς έχουν "άθροισμα":
$\displaystyle S=\frac{E_1}{1-(\frac{16}{25})^2}=\frac{6.(\frac{3}{5})^2}{1-(\frac{16}{25})^2}=\frac{150}{41}$
Επομένως το ζητούμενο άθροισμα τον κόκκινων τριγώνων είναι:
$\displaystyle S_{\kappa \acute{o}\kappa \kappa \iota \nu \omega \nu }=6-\frac{150}{41}=\frac{96}{41}\tau .\mu .$

(*) Ευχαριστώ το συνάδερφο Θανάση Μπεληγιάννη για τη διόρθωση του λόγου ομοιότητας από το λαθεμένο 3/5 στο σωστό 16/25.

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Re: ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΕΜΒΑΔΩΝ

Μέλη σε σύνδεση