Λόγος εμβαδών!

#1

Σε τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ εγγράφουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AKL.}$ Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του ισοπλεύρου τριγώνου και του τετραγώνου.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

: Square.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Έστω α η πλευρά του τετραγώνου και x η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου.
Φένουμε την διαγώνιο AC που είναι μεσοκάθετος του KL ( τα τρίγωνα ABK και ADL είναι ισα).
Επειδή $AC=a\sqrt{2} , AM=\frac{x\sqrt{3}}{2}, ML=MC=\frac{x}{2}$ θα έχουμε $AC=AM+MC\Rightarrow a\sqrt{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{4}$
Άρα $\frac{(ABCD)}{(AKL)}=\frac{2(ADC)}{2(AML)}=\frac{AD\cdot DC}{AM\cdot ML}=\frac{a\cdot a}{\frac{x}{2}\cdot\frac{x\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$

#3

Μια Τριγωνομετρική λύση.

: 12-3-2011 Γεωμετρία.jpg (16.72 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΚ και ΑDL έχουν ίσες υποτείνουσες ΑΚ, ΑL (πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου) και ΑΒ = AD = α.
Είναι ίσα, οπότε $\displaystyle \widehat{BAK} = \widehat{DAL} = 15^\circ$

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu 15^\circ = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} \Rightarrow \frac{\alpha }{{{\rm A}{\rm K}}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} \Rightarrow {\rm A}{\rm K} = \frac{2}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}\alpha$

Οπότε $\displaystyle \left( {AKL} \right) = \frac{{\left( {\frac{{2\alpha }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}} \right)^2 \sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 \alpha ^2 }}{{2 + \sqrt 3 }} \Rightarrow \frac{{\left( {AKL} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$

Ιστοσελίδα · #4

Άλλη μια γεωμετρική.

Θέτω

την πλευρά του ισοπλεύρου AKL

. Ισχύει: $\left( {ABK} \right) = \left( {ADL} \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot x \cdot \displaystyle\frac{x}{4} = \displaystyle\frac{{{x^2}}}{8}\,\,(1)$ , $\left( {KLC} \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot x \cdot \displaystyle\frac{x}{2} = \displaystyle\frac{{{x^2}}}{4}\,\,(2)$ , $\left( {AKL} \right) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot x \cdot \displaystyle\frac{{\sqrt 3 x}}{2} = \displaystyle\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\,\,(3)$ .

$\left( {ABCD} \right) = 2\left( {ABK} \right) + \left( {KLC} \right) + \left( {AKL} \right)\mathop = \limits^{(1),(2),(3)} \displaystyle\frac{{{x^2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{4}\,\,(4)$ , οπότε: $\displaystyle\frac{{\left( {AKL} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}}\mathop = \limits^{(3),(4)} \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\displaystyle\frac{{{x^2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{4}}} = \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 - 3.$

#5

Μετά και τη γεωμετρική λύση του Μιχάλη, νομίζω απαραίτητη είναι μια ΑναλυτικοΓεωμετρική

: 12-3-2011 Γεωμετρία β.jpg (31.25 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Α(0, 0) παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle B\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2},\; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right),\;\Gamma \left( {\sqrt 2 ,\;0} \right),\;\Delta \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2},\;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ που είναι κορυφές τετραγώνου πλευράς 1.

Η ΓΔ έχει εξίσωση: $\displaystyle y = - x + \sqrt 2$

Φέρνουμε την ημιευθεία Αz που σχηματίζει γωνία 30° με τον Οx και έχει εξίσωση: $\displaystyle y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x$ .

Τέμνει τη ΓΔ στο $\displaystyle \Lambda \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{{3 + \sqrt 3 }},\;\frac{{\sqrt 6 }}{{3 + \sqrt 3 }}} \right)$

Η ΑΛ είναι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΛΚ, εγγεγραμμένου στο ΑΒΓΔ.

Αν Μ η προβολή του Λ στον Οx, τότε
$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm K}\Lambda } \right) = 2 \left( {{\rm A}\Lambda {\rm M}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm M}} \right) \left( {\Lambda {\rm M}} \right) = \frac{{3\sqrt 2 }}{{3 + \sqrt 3 }} \frac{{\sqrt 6 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{{12 + 6\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$ ,

οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {{\rm A}{\rm K}\Lambda } \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}$

KARKAR · #6

Επειδή η εκφώνηση δεν αναφέρει για ισόπλευρο τρίγωνο μεγίστου εμβαδού , μια απάντηση

θα μπορούσε να είναι και η παρακάτω : $\displaystyle\frac{(EZH)}{(ABCD)}=\frac{\sqrt{3}}{4}=0.433..<\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0.464..$

#7

KARKAR έγραψε:Επειδή η εκφώνηση δεν αναφέρει για ισόπλευρο τρίγωνο μεγίστου εμβαδού , μια απάντηση

θα μπορούσε να είναι και η παρακάτω : $\displaystyle\frac{(EZH)}{(ABCD)}=\frac{\sqrt{3}}{4}=0.433..<\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0.464..$

Όμως λέει ότι το ισόπλευρο έχει ως μία κορυφή του την $\displaystyle{A}$ .

KARKAR · #8

Ε βέβαια !

Το αφήνω όμως , σαν ανοιχτό θέμα αναζήτησης άλλων ισόπλευρων τριγώνων , που μπορούν να εγγραφούν στο τετράγωνο.

Λόγος εμβαδών!

Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Re: Λόγος εμβαδών!

Μέλη σε σύνδεση