Τέσσερα ίσα , δύο άνισα

[KARKAR]

Δίνεται τραπέζιο με μεγάλη βάση , και μικρή

1) Βρείτε σημείο στο εσωτερικό του τραπεζίου , ώστε :

2) Αν η παράλληλη από το προς τις βάσεις τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές

στα αντίστοιχα , αποδείξτε ότι : .

[KDORTSI]

1. Επειδή τα κίτρινα τρίγωνα είναι ισοδύναμα, τα ύψη τους:

θα είναι αντιστρόφως ανάλογα των βάσεων.
Έτσι η κορυφή Μ των τριγώνων αυτών θα κινείται σε παραλληλη προς τις βασεις που θα διέρχεται
από το σημείο Ν του ύψους υ=DE τέτοιο ώστε:


άρα αν χωριστεί το ύψος DE σε λόγο σύμφωνα με τις ανωτέρω σχέσεις βρίσκεται η KL.(κατασκευή)
Για να είναι τα πράσιν τρίγωνα ισοδύναμα θα πρέπει η κορυφή Μ να απέχει από τα σκέλη του
τραπεζίου αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες των σκελών αυτών.
Άρα:
Το σημείο Μ επίσης θα βρίσκεται στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής Ο των σκελών του τραπεζίου και
κάθε σημείο της απέχει αποστάσεις αντιστρόφως ανάλογες των μηκών των σκελών του τραπεζίου αυτού.
Άρα η τομή των δύο αυτών ευθειών ορίζει το σημείο Μ. (κατασκευή)

2. Το τμήμα KL υπολογίζεται εύκολα από τα όμοια τρίγωνα που ορίζει η BD με τις
βάσεις και τα σκέλη του τραπεζίου και είναι:

άρα η ζητούμενη σχέση γίνεται:

η οποία ισχύει.

Σημείωση: Στο αναρτημένο σχήμα έχουν γίνει ακριβώς οι δύο κατασκευές, για το λόγο αυτό αν μετρηθούν στο λογισμικό τα εμβαδά αυτά θα διαπιστωθούν οι σχετικές ισότητες.