Ας μην αδικήσουμε το κέντρο

KARKAR · #1

Εξωτερικά τριγώνου ABC

κατασκευάζω τα τετάγωνα : ABDE , ACZH , BCIF

με κένρα

αντίστοιχα .

Σχεδιάζω τον κύκλο με κέντρο το μέσο

της

, και ακτίνα

.

1) Δείξτε ότι ο κύκλος θα διέλθει από το κέντρο

.

2) Βρείτε την απαιτούμενη συνθήκη ώστε ο κύκλος να διέλθει από το κέντρο

.

Ιστοσελίδα · #2

1) Έχουμε αποδείξει εδώ ότι το τρίγωνο OMK

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Αφού MO = MK ,

ο κύκλος

θα διέλθει από το σημείο

2) Ο κύκλος (M,MO)

θα διέλθει και από το σημείο

αν και μόνο αν

$MO = ML \Leftrightarrow$

$MO^2 = ML^2 \Leftrightarrow$

$\dfrac{c^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} - 2\dfrac{c}{2}\cdot\dfrac{b}{2}\cdot\cos(90^{\circ}+A) = \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow$

$b^2 + c^2 +2bc\sin A = a^2 \Leftrightarrow$

$b^2 + c^2 +2bc\sin A = b^2 + c^2 -2bc\cos A \Leftrightarrow$

$\sin A = -\cos A \Leftrightarrow$

$\tan A = -1 \Leftrightarrow$

$\hat{A} = 135^{\circ}$

#3

i) Από τα ίσα τρίγωνα ΑΒΗ και ΕΑC προκύπτει (γνωστό θέμα του σχολικού βιβλίου ότι ΕC=BH (και κάθετα) οπότε ΟΜ=ΕC/2 (συνδέει τα μέσα πλευρών τριγώνου)=ΒΗ/2=ΚΜ άρα ο κύκλος (Μ, ΜΟ) διέρχεται από το Κ.
ii) Αν ο κύκλος αυτός διέρχεται από το κέντρο L και του τετραγώνου ΒCIF τότε θα είναι ML=OM:(1) . Αλλά ΜL=BC/2 και ΟΜ=ΕC/2 οπότε από τη σχέση (1) θα είναι και ΕC=BC, δηλαδή το C θα ανήκει στη μεσοκάθετη του τμήματος ΕΒ. Όμως προφανώς (από το τετράγωνο DEAB) η ΟΑ είναι μεσοκάθετη του EB. Άρα τελικά τα σημεία Ο, Α, C είναι συνευθειακά και επειδή είναι γωνία ΒΑΟ = 45 μοίρες τότε η γωνία Α του τριγώνου ΑΒC θα είναι 135 μοίρες

Ας μην αδικήσουμε το κέντρο

Ας μην αδικήσουμε το κέντρο

Re: Ας μην αδικήσουμε το κέντρο

Re: Ας μην αδικήσουμε το κέντρο

Μέλη σε σύνδεση