Βρείτε το εμβαδόν (15)

Ιστοσελίδα · #1

Στο εσωτερικό τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς 6 και με κέντρα τις κορυφές, σχηματίζω τέσσερα τεταρτοκύκλια που τέμνονται στα ${\rm K},\Lambda ,{\rm M},{\rm N}$ . Βρείτε το εμβαδόν της πορτοκαλί περιοχής.

GMANS · #2

ΒΜΓ ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6, η γωνία ΑΒΜ= 30^0

Ε (κυκλ.τομ.ΑΒΜ)= $\frac{\pi .6^2.30^0}{360^0}=3\pi$

Το ύψος του ΜΡ του τριγώνου ΑΒΜ είναι ΜΡ= $\frac{BM}{2}=3$

Ε(τργ.ΑΜΒ)=9 οπότε

Ε(κυκλ.τμήματος ΑΜ)=3π-9

Το ύψος του τριγώνου ΑΜΔ είναι 6-3 $\sqrt{3}$
Το μεικτόγραμμο τρίγωνο ΑΜΔ έχει εμβαδόν

E_1

=Ε(τργ.ΑΜΔ)-2Ε(κυκλ.τμήματος ΑΜ)=36-9 $\sqrt{3}-6\pi$
E(κυκλικού τομέα ΒΑΜΛΓ)= $\frac{\pi.6^2.90^0}{360^0}$ =9π,
Ε(τργ.ΑΒΓ)=18

E(ΑΜΛΓΚΝΑ)= $18\pi$ -36

Αν Ε το ζητούμενο εμβαδόν και λαμβάνοντας υπόψη τις συμμετρίες του σχήματος είναι:

E=2E(ΑΜΛΓΚΝΑ)+4E1-E(ABΓΔ)= $12(3+\pi-3\sqrt{3})$

KARKAR · #3

Αλλιώς ... Φέρω BM, BL

και επειδή $\displaystyle \widehat{MBA}=\widehat{LBC}=\widehat{MBL}=30^{o}$ ,

το τόξο

είναι το $\displaystyle \frac{1}{3}$ του τεταρτοκυκλίου , δηλαδή το $\displaystyle \frac{1}{12}$ του κύκλου.

Συνεπώς $ML=6\sqrt{2-\sqrt{3}}$ (άσκηση σχ.βιβλίου 3 σελ. 242) ως πλευρά κανονικού δωδεκαγώνου.

Τώρα το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με το άθροισμα τετραγώνου πλευράς

που είναι $36(2-\sqrt{3})$ ,

συν το τετραπλάσιο του κυκλικού τμήματος

. Αλλά

(τμήματος )=

(τομέα) -

(τριγώνου) =

$\displaystyle \frac{\pi 6^{2}}{12}-\frac{1}{2}6^{2}\eta \mu 30^{o}=\frac{\pi -3}{12}6^{2}=3(\pi -3)$

Οπότε τελικά $\displaystyle (MNKL)=36(2-\sqrt{3})+4.3(\pi -3) = 12(\pi +3-3\sqrt{3})$

Ιστοσελίδα · #4

Γιώργο και Θανάση σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας.

Βρείτε το εμβαδόν (15)

Βρείτε το εμβαδόν (15)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (15)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (15)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (15)

Μέλη σε σύνδεση