Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

KARKAR · #1

Στο τραπέζιο A B C D

του σχήματος , K , N , L , M

είναι τα μέσα των πλευρών του .

Βρείτε το εμβαδόν και τις διαγωνίους του τετραπλεύρου K N L M

Ιστοσελίδα · #2

Το

είναι παραλληλόγραμμο ( $KM = NL = //\displaystyle\frac{{BD}}{2}$ )

Το $KL = \displaystyle\frac{{AD + BC}}{2} = 5,5$ σαν διάμεσος τραπεζίου, η οποία διέρχεται από τα μέσα E,F

των διαγωνίων BD,AC

αντίστοιχα και θα ισχύει $EF = \displaystyle\frac{{BC - AD}}{2} = 2,5$ .

Τα $AMEK,\,MFLD$ είναι παραλληλόγραμμα (2 απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες με 1,5), οπότε ME = 2,5

και $MF = \sqrt 5$ .

Από τον τύπο του Ήρωνα υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου MEF

που είναι ίσο με $2,5\,\tau .\mu .$ , οπότε υπολογίζεται και το ύψος MG = 2

.

Από Πυθαγόρειο στο MGF

έχουμε

, άρα $OG = \displaystyle\frac{{EF}}{2} - GF = \displaystyle\frac{1}{4}$ .

Από Πυθαγόρειο στο MOG

παίρνουμε $OM = \displaystyle\frac{{\sqrt {65} }}{4}$ .

Άρα $\left( {MKNL} \right) = 2\left( {MKL} \right) = 11\,\tau .\mu .$ , KL = 5,5

και $MN = 2OM = \displaystyle\frac{{\sqrt {65} }}{2}$ .

Ιστοσελίδα · #3

Άλλη μια λύση ελαφρώς κομψότερη.

Από το μέσο

της

φέρω παράλληλες προς τις $AB,\,DC$ που τέμνουν την

στα

αντίστοιχα.

Το τρίγωνο MEF

έχει από τον τύπο του Ήρωνα εμβαδόν $10\,\tau .\mu .$ και ύψος MG = 4

.

Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο MGF

παίρνουμε

και $NG = \displaystyle\frac{{EF}}{2} - GF = 0,5$ .

Από τη διάμεσο τραπεζίου παίρνουμε KL = 5,5

και από Πυθαγόρειο στο MNG

παίρνουμε $MN = \displaystyle\frac{{\sqrt {65} }}{2}$ .

Για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου κάνουμε χρήση του θεωρήματος Varignon και θα ισχύει: $\left( {MKNL} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2} = \displaystyle\frac{{22}}{2} = 11\,\tau .\mu .$

mathfinder · #4

Μιχάλη καλησπέρα

Επίσης για τον υπολογισμό της ΜΝ , μπορούμε να πάρουμε και 1ο θεώρημα διαμέσου στο τρίγωνο MEF , όπου η ΜΝ είναι διάμεσος , για να ... γλιτώσουμε από τα πολλά Πυθαγόρεια.

Αθ. Μπεληγιάννης

Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

Re: Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

Re: Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

Re: Σχολική , αλλά με περισσότερη δουλειά

Μέλη σε σύνδεση