Ισότητα Casey

Ιστοσελίδα · #1

Με αφορμή το θέμα που προτάθηκε εδώ:

Ισότητα Casey
Θεωρούμε δύο κύκλους $(K,R_1) \; , \; (L,R_2)$ και το ριζικό άξονα αυτών $(\epsilon).$
Αν

σημείο του επιπέδου και

είναι η απόσταση του

από την $(\epsilon),$ να αποδείξετε ότι:

$MA = \dfrac{|\Delta_{(K)}^{M}-\Delta_{(L)}^{M}|}{2KL}$

#2

: Casey.jpg (18.42 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Έστω Ν μέσον KL και Ε η προβολή του Μ στην KL.

Τότε $\displaystyle{\Delta _{\left( L \right)}^M - \Delta _{\left( K \right)}^M = \left( {M{L^2} - R_2^2} \right) - \left( {M{K^2} - R_1^2} \right) = \left( {M{L^2} - M{K^2}} \right) - \left( {R_2^2 - R_1^2} \right) = 2 \cdot KL \cdot EN - \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)}$ (εφαρμογή θεωρήματος διαμέσων).

Όμως Z σημείο του ριζικού άξονα, άρα $\displaystyle{Z{L^2} - R_2^2 = Z{K^2} - R_1^2 \Rightarrow R_2^2 - R_1^2 = Z{L^2} - Z{K^2} = \left( {ZL + ZK} \right)\left( {ZL - ZK} \right) = }$

$\displaystyle{ = KL\left( {NL + NZ - NK + NZ} \right) \Rightarrow \boxed{R_2^2 - R_1^2 = 2 \cdot KL \cdot NZ}}$
Τελικά $\displaystyle{\Delta _{\left( L \right)}^M - \Delta _{\left( K \right)}^M = 2 \cdot KL \cdot EN - 2 \cdot KL \cdot NZ = 2 \cdot KL \cdot EZ = 2 \cdot KL \cdot MA \Rightarrow \boxed{MA = \frac{{\left| {\Delta _{\left( L \right)}^M - \Delta _{\left( K \right)}^M} \right|}}{{2 \cdot KL}}}}$ .
(Βέβαια χρειάζεται κάποια διερεύνηση στα πρόσημα και στην διάταξη των σημείων).

S.E.Louridas · #3

Εκπληκτικό, κατά την αποψή μου θέμα και από οτι θυμάμαι ήταν θέμα που είχε μπεί σε εισαγωγικές εξετάσεις γιά την Φυσικομαθηματική Σχολή (μου διαφεύγει αυτή τη στιγμή το έτος).

S.E.Louridas

Ισότητα Casey

Ισότητα Casey

Re: Ισότητα Casey

Re: Ισότητα Casey

Μέλη σε σύνδεση