Αν τέσσερα τότε και πέντε ομοκυκλικά

#1

Σε τρίγωνο ΑΒΓ, Η είναι το ορθόκεντρο, Ι είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και Ο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδειχθεί ότι:

i) Αν τα σημεία Β, Γ και δύο από τα σημεία Η, Ι, Ο αποτελούν τις κορυφές τετραπλεύρου εγγεγραμμένου σε κύκλο και το τρίτο από τα παραπάνω σημεία θα ανήκει στον κύκλο αυτό.

ii) Είναι $\displaystyle{ {\rm I}{\rm H} = {\rm I}{\rm O} }$ .

Στάθης Κούτρας

Ιστοσελίδα · #2

i)
$\bullet$ Αν H , I

ομοκυκλικά με τα $B, \varGamma$ τότε:
$B\widehat{H}\varGamma = B\widehat{I}\varGamma \Rightarrow 180^{\circ}-\hat{A} = 90^{\circ}+\dfrac{\hat{A}}{2} \Rightarrow \hat{A}=60^{\circ}.$ Τότε $B\widehat{O}\varGamma = 120^{\circ} = B\widehat{H}\varGamma = B\widehat{I}\varGamma.$

$\bullet$ Αν H , O

ομοκυκλικά με τα $B, \varGamma$ τότε:
$B\widehat{H}\varGamma = B\widehat{O}\varGamma \Rightarrow 180^{\circ}-\hat{A} = 2\hat{A} \Rightarrow \hat{A}=60^{\circ}.$ Τότε $B\widehat{I}\varGamma = 120^{\circ} = B\widehat{H}\varGamma = B\widehat{O}\varGamma.$

$\bullet$ Αν I , O

ομοκυκλικά με τα $B, \varGamma$ τότε:
$B\widehat{I}\varGamma = B\widehat{O}\varGamma \Rightarrow 90^{\circ}+\dfrac{\hat{A}}{2} = 2\hat{A} \Rightarrow \hat{A}=60^{\circ}.$ Τότε $B\widehat{H}\varGamma = 120^{\circ} = B\widehat{I}\varGamma = B\widehat{O}\varGamma.$

ii) $H\widehat{B}I = H\widehat{B}\varGamma - I\widehat{B}\varGamma = 90^{\circ}-\hat{\varGamma} - \dfrac{\hat{B}}{2} = 90^{\circ}-\dfrac{\hat{\varGamma}}{2} - \dfrac{\hat{B}+\hat{\varGamma}}{2} =$

$90^{\circ}-60^{\circ} -\dfrac{\hat{\varGamma}}{2} = 30^{\circ} -\dfrac{\hat{\varGamma}}{2} = O\widehat{\varGamma}B - I\widehat{\varGamma}B = O\widehat{\varGamma}I.$

Άρα IH = IO.

Αν τέσσερα τότε και πέντε ομοκυκλικά

Αν τέσσερα τότε και πέντε ομοκυκλικά

Re: Αν τέσσερα τότε και πέντε ομοκυκλικά

Μέλη σε σύνδεση