Είναι κατασκευάσιμο!

#1

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο στο εσωτερικό του που δεν ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ.

Να δειχθεί ότι με πλευρές τις ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ κατασκευάζεται πάντοτε τρίγωνο και οι γωνίες του είναι $\displaystyle{ \left| {\widehat{{\rm B}{\rm O}\Gamma } - 60^0 } \right| = \left| {\widehat{\Gamma {\rm O}{\rm A}} - 60^0 } \right| = \left| {\widehat{{\rm A}{\rm O}{\rm B}} - 60^0 } \right| }$ .

Τι συμβαίνει όταν το Ο είναι εξωτερικό του τριγώνου;.

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

#2

: sta.jpg (60.56 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

$\displaystyle{{\rm O}{\rm A} + {\rm O}{\rm B} > {\rm A}{\rm B} = \Gamma {\rm B} > \Gamma {\rm O}}$ , όμοια $\displaystyle{OA + O\Gamma > {\rm O}{\rm B}}$ και $\displaystyle{O{\rm B} + O\Gamma > {\rm O}{\rm A}}$ άρα πάντα κατασκευάζεται τρίγωνο με πλευρές τις $\displaystyle{{\rm O}{\rm A},{\rm O}{\rm B},{\rm O}\Gamma }$ .
Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}\Gamma \Delta }$ (πρώτο σχήμα). Τότε τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm O}{\rm A}\Gamma {\text{ \& }}\Gamma {\rm B}\Delta }$ είναι ίσα διότι $\displaystyle{{\rm A}\Gamma = \Gamma {\rm B}{\text{ }}{\text{, }}{\rm O}\Gamma = \Gamma \Delta {\text{ \& }}{\rm A}\hat \Gamma {\rm O} = {\rm B}\hat \Gamma \Delta = {60^o} - \hat \omega }$ .
Συνεπώς $\displaystyle{{\rm B}\Delta = {\rm O}{\rm A}}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm O}{\rm B}\Delta }$ είναι το ζητούμενο με $\displaystyle{{\rm B}\hat {\rm O}\Delta = {\rm B}\hat {\rm O}\Gamma - {60^o}}$ (όμοια και οι άλλες γωνίες).

Αν το σημείο

είναι εξωτερικό, ισχύουν περίπου τα ίδια, αρκεί να μην ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο όπου θα έχουμε $\displaystyle{OA + OB = {\rm O}\Gamma }$ (γνωστό λήμμα) οπότε δεν θα κατασκευάζεται το ζητούμενο τρίγωνο καθώς επίσης θα πρέπει να μην ανήκει στην προέκταση κάποιας πλευράς όπου πάλι δεν θα κατασκευάζεται το ζητούμενο τρίγωνο, διότι δεν θα ισχύει η τριγωνική ανισότητα..

Είναι κατασκευάσιμο!

Είναι κατασκευάσιμο!

Re: Είναι κατασκευάσιμο!

Μέλη σε σύνδεση