Περού

KARKAR · #1

Στο τραπέζιο ABCD

, η βάση

είναι διπλάσια από την

. Έστω

το μέσο της

.

Επί της πλευράς

παίρνω σημεία K , L

, ώστε : $\displaystyle BK=KL=\frac{2}{5}BC$ .

1) Δείξτε ότι : (AKB)=(DCLN)

------------ 2) Δείξτε ότι : $\displaystyle (AKLN )=\frac{7}{15}(ABCD)$

Ιστοσελίδα · #2

Φέρω την

και δημιουργείται το παραλληλόγραμμο DMBC

. Έστω $G,\,F$ τα σημεία τομής της

με τις $NL,\,AK$ αντίστοιχα. Θα είναι GFKL

παραλληλόγραμμο και αφού

μέσο της

(

) θα ισχύει: DG = GF = LK = KB = 2y

και από εκφώνηση και σχήμα CL = FM = y

.

Φέρω τις προβολές $w = NE,\,AH = 2w$ στην

και προεκτείνω την

μέχρι να τμήσει την

στο

Από τα όμοια τρίγωνα $AFM,\,AKB$ ισχύει HI = 2w

.

1) Από την ισότητα των τριγώνων $GDC,\,MBK\,\,(\Pi - \Gamma - \Pi )$ , όπως και των τριγώνων $CGL,\,KFM\,\,(\Pi - \Pi - \Pi )$ τα τραπέζια $CLGD,\,FMBK$ είναι ίσα με $\left( {CLGD} \right) = \left( {FMBK} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {2y + y} \right)2w}}{2} = 3yw\,\,(1)$
Επίσης $\left( {DGN} \right) = \displaystyle\frac{{2y \cdot w}}{2} = yw$ και $\left( {AFM} \right) = \displaystyle\frac{{y \cdot 2w}}{2} = yw$ , δηλαδή $\left( {DGN} \right) = \left( {AFM} \right) = yw\,\,(2)$ . Με πρόσθεση κατά μέλη των $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)$ προκύπτει το ζητούμενο.

2) Από την ισότητα των τριγώνων $NPA,\,DGN\,\,(\Pi - \Pi - \Pi )$ έχουμε ότι $\left( {NPA} \right) = yw$ . Ακόμα ισχύει ότι $\left( {NPKL} \right) = \left( {w + 2w} \right) \cdot 2y = 6yw$ . Άρα $\left( {AKNL} \right) = 7yw\,\,(3)$ και $\left( {ABCD} \right) = 15yw\,\,(4)$ . Με διαίρεση κατά μέλη των $\left( 3 \right),\,\left( 4 \right)$ προκύπτει το ζητούμενο.

GMANS · #3

Αν Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών DA, CB.
Θα είναι MD=DA=d, MC=CB=c, AB=2DC=2a τότε

$MN=\frac{3d}{2},ML=\frac{6c}{5},LK=BK=\frac{2c}{5}$ Αν (ABCD)=E τότε

1) $\frac{(MDC)}{(ABM)}=\frac{d*c}{2d*2c}=\frac{1}{4}\Rightarrow (MDC)=\frac{E}{3}$
$(AMB)=(MDC)+(ABCD)=\frac{4}{3}E$

$\frac{AKB)}{(AMB)} =\frac{1}{5} \Rightarrow (AKB)=\frac{4}{15}E$

$\frac{(MDC)}{(MNL)}=\frac{5}{9}\Rightarrow \frac{(MDC)}{(MNL))-(MDC)}=\frac{5}{4}\Rightarrow (DCLN)=\frac{4}{15}E$ =(AKB)

2)Τότε

$(AKLN)=E-2\frac{4}{15}E=\frac{7}{15}E$

Περού

Περού

Re: Περού

Re: Περού

Μέλη σε σύνδεση