Χαλαρώνοντας από το κυνήγι του CV ένα ωραίο εμβαδό χωρίου που βρίσκεται ανάμεσα σε μερικούς κύκλους.
Δίνονται οι κύκλοι με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Αν οι κοινές εφαπτόμενες ΚΛ και ΛΜ έχουν αντίστοιχα μήκη 9 και 1 να βρεθεί το εμβαδό της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.
4 κύκλοι
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2337
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
-
Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: 4 κύκλοι
Έχουμε από την άσκηση 2/σύνθετα θέματα σχολικού βιβλίου στην παράγραφο 9.1 - 9.2
Αν R,p,r είναι οι κύκλοι του πρώτου, δεύτερου και τρίτου κατά διάσταση εσωτερικού κύκλου αντίστοιχα έχουμε για του δύο εφαπτόμενους κύκλους,
και
Για τον πρώτο και τρίτο εσωτερικό κύκλο (δεν είναι εφαπτόμενοι άρα δεν ισχύει η παραπάνω άσκηση) έχουμε αν φέρουμε κάθετη ευθεία από το κέντρο του μικρότερου κύκλου στην ακτίνα του μεγαλύτερου από τους εσωτερικούς και εφαρμόσουμε Πυθ. θεώρημα:
και με αυτή την λύση φτάνουμε σε ένα δύσκολο σύστημα, αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος, θα το δω και διαφορετικά...
Αν R,p,r είναι οι κύκλοι του πρώτου, δεύτερου και τρίτου κατά διάσταση εσωτερικού κύκλου αντίστοιχα έχουμε για του δύο εφαπτόμενους κύκλους,
και
Για τον πρώτο και τρίτο εσωτερικό κύκλο (δεν είναι εφαπτόμενοι άρα δεν ισχύει η παραπάνω άσκηση) έχουμε αν φέρουμε κάθετη ευθεία από το κέντρο του μικρότερου κύκλου στην ακτίνα του μεγαλύτερου από τους εσωτερικούς και εφαρμόσουμε Πυθ. θεώρημα:
και με αυτή την λύση φτάνουμε σε ένα δύσκολο σύστημα, αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος, θα το δω και διαφορετικά...
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
-
Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: 4 κύκλοι
Η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι: 
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι,
![\displaystyle{\begin{array}{l}
{E_{\zeta \eta \tau }} = \frac{{\pi {{\left( {R + p + r} \right)}^2}}}{2} - \frac{{\pi {R^2}}}{2} - \frac{{\pi {p^2}}}{2} - \frac{{\pi {r^2}}}{2} \\
= \frac{{\pi {{\left( {R + p + r} \right)}^2} - \pi {R^2} - \pi {p^2} - \pi {r^2}}}{2} \\
= \frac{\pi }{2}\left[ {{{\left( {R + p + r} \right)}^2} - {R^2} - {p^2} - {r^2}} \right] \\
= \frac{\pi }{2}\left[ {{{\left( {R - r} \right)}^2} + {{10}^2} - {R^2} - {p^2} - {r^2}} \right] \\
= \frac{\pi }{2}\left( { - 2Rr - {p^2} + 100} \right) \\
= \frac{\pi }{2}\left( { - \frac{{37}}{2} + 100} \right) = \frac{{163\pi }}{4} \\
\end{array}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a1654855b5a4ed5fdbdf2799badcda12.png "\displaystyle{\begin{array}{l}
{E_{\zeta \eta \tau }} = \frac{{\pi {{\left( {R + p + r} \right)}^2}}}{2} - \frac{{\pi {R^2}}}{2} - \frac{{\pi {p^2}}}{2} - \frac{{\pi {r^2}}}{2} \\
= \frac{{\pi {{\left( {R + p + r} \right)}^2} - \pi {R^2} - \pi {p^2} - \pi {r^2}}}{2} \\
= \frac{\pi }{2}\left[ {{{\left( {R + p + r} \right)}^2} - {R^2} - {p^2} - {r^2}} \right] \\
= \frac{\pi }{2}\left[ {{{\left( {R - r} \right)}^2} + {{10}^2} - {R^2} - {p^2} - {r^2}} \right] \\
= \frac{\pi }{2}\left( { - 2Rr - {p^2} + 100} \right) \\
= \frac{\pi }{2}\left( { - \frac{{37}}{2} + 100} \right) = \frac{{163\pi }}{4} \\
\end{array}}")
και χωρίς να λύσουμε το σύστημα για να βρούμε τις ακτίνες των κύκλων χωριστά...
Σημείωση: Χρωστάω ένα σχήμα!
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι,
και χωρίς να λύσουμε το σύστημα για να βρούμε τις ακτίνες των κύκλων χωριστά...
Σημείωση: Χρωστάω ένα σχήμα!
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης