Βρείτε το λόγο (14)

Ιστοσελίδα · #1

Σε ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ κατασκευάζουμε τρίγωνο $\Delta {\rm B}{\rm A}\left( {{{150}^ \circ }{{,24}^ \circ }{{,6}^ \circ }} \right)$ , με $\Delta$ εσωτερικό σημείο του ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ . Βρείτε το λόγο $\displaystyle\frac{{\Gamma \Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}}$ .

#2

Χρησιμοποιώ το σχήμα του φίλου μου Μιχάλη.
Ομολογώ ότι δεν έχω ακόμα αμιγώς γεωμετρική λύση (βέβαια το αποτέλεσμα δείχνει ότι μάλλον υπάρχει και τέτοια) και επειδή έχω υποχρέωση να δώσω κάτι στον καλό μου φίλο πάμε έστω και με "μπόλικη" τριγωνομετρία.

$\displaystyle{ \vartriangle {\rm A}\Delta \Gamma \mathop \Rightarrow \limits^{\nu .\sigma \upsilon \nu \eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu } \Gamma \Delta ^2 = {\rm A}\Delta ^2 + {\rm A}\Gamma ^2 - 2{\rm A}\Delta \cdot {\rm A}\Gamma \cdot \sigma \upsilon \nu 102^0 \mathop \Rightarrow \limits^{{\rm A}\Gamma = {\rm A}{\rm B}} \boxed{\Gamma \Delta ^2 = {\rm A}\Delta ^2 + {\rm A}{\rm B}^2 - 2{\rm A}\Delta \cdot {\rm A}{\rm B} \cdot \sigma \upsilon \nu 102^0 }:\left( 1 \right) }$

$\displaystyle{ \vartriangle {\rm A}\Delta {\rm B}\mathop \Rightarrow \limits^{\nu .\eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu } \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {{\eta \mu \left( {\widehat{{\rm A}\Delta {\rm B}}} \right)}} = \frac{{{\rm A}\Delta }} {{\eta \mu 24^0 }}\mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{{\rm A}\Delta {\rm B}} = 180^0 - 24^0 - 6^0 = 150^0 \Rightarrow \eta \mu \widehat{{\rm A}\Delta {\rm B}} = \frac{1} {2}} \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {{\frac{1} {2}}} = \frac{{{\rm A}\Delta }} {{\eta \mu 24^0 }} \Rightarrow \ldots \boxed{{\rm A}\Delta = 2{\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu 24^0 }:\left( 2 \right) }$

$\displaystyle{ \left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \Gamma \Delta ^2 = \left( {2{\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu 24^0 } \right)^2 + {\rm A}{\rm B}^2 - 2\left( {2{\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu 24^0 } \right) \cdot {\rm A}{\rm B} \cdot \sigma \upsilon \nu 102^0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Gamma \Delta ^2 = 4{\rm A}{\rm B}^2 \cdot \eta \mu ^2 24^0 + {\rm A}{\rm B}^2 - 4{\rm A}{\rm B}^2 \cdot \eta \mu 24^0 \cdot \sigma \upsilon \nu 102^0 \mathop \Rightarrow \limits^{:{\rm A}{\rm B}^2 } \frac{{\Gamma \Delta ^2 }} {{{\rm A}{\rm B}^2 }} = 4\eta \mu ^2 24^0 + 1 - 4\eta \mu 24^0 \cdot \sigma \upsilon \nu 102^0 }$

$\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu ^2 24^0 = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 48^0 }} {2},\sigma \upsilon \nu 102^0 = - \eta \mu 12^0 } \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 1 + 2\left( {1 - \sigma \upsilon \nu 48^0 } \right) + 2 \cdot 2\eta \mu 24^0 \cdot \eta \mu 12^0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 1 + 2 - 2\sigma \upsilon \nu 48^0 + 2\left( {\sigma \upsilon \nu \left( {24^0 - 12^0 } \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {24^0 + 12^0 } \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 - 2\sigma \upsilon \nu 48^0 + 2\left( {\sigma \upsilon \nu 12^0 - \sigma \upsilon \nu 36^0 } \right) \Rightarrow \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 - 2\sigma \upsilon \nu 48^0 + 2\sigma \upsilon \nu 12^0 - 2\sigma \upsilon \nu 36^0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 - 2\left( {\sigma \upsilon \nu 48^0 - \sigma \upsilon \nu 12^0 } \right) - 2\sigma \upsilon \nu 36^0 \Rightarrow \ldots \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 + 2 \cdot 2\eta \mu 18^0 \cdot \eta \mu 30^0 - 2\sigma \upsilon \nu 36^0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 + 2 \cdot 2\eta \mu 18^0 \cdot \frac{1} {2} - 2 \cdot \left( {2\sigma \upsilon \nu ^2 18 - 1} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\sigma \upsilon \nu 18^0 = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }} {4}\left( {***} \right) \Rightarrow \ldots \eta \mu 18^0 = \frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} {4}} }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 3 + 2 \cdot 2\frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} {4} \cdot \frac{1} {2} - 2 \cdot \left( {2\frac{{10 + 2\sqrt 5 }} {{16}} - 1} \right) \Rightarrow \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 5 + \frac{{\sqrt {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2 } }} {2} - \frac{{5 + \sqrt 5 }} {2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 5 + \frac{{\sqrt 5 - 1}} {2} - \frac{{5 + \sqrt 5 }} {2} \Rightarrow \ldots \left( {\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2 = 2 \Rightarrow \boxed{\frac{{\Gamma \Delta }} {{{\rm A}{\rm B}}} = \sqrt 2 } }$ . (***) πόσο είναι το $\displaystyle{ \sigma \upsilon \nu 18^0 }$ το έχουμε δείξει εδώ viewtopic.php?f=22&t=15749

Φιλικότατα
Στάθης

Ιστοσελίδα · #3

Να ευχαριστήσω τον Στάθη και να δώσω άλλη μία λύση.

Με πλευρά ${\rm A}{\rm B}$ κατασκευάζω το κανονικό πεντάγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}{\rm E}\Gamma$ . Παίρνω το συμμετρικό του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Delta$ ως προς ${\rm B}\Delta$ (τρίγωνο ${\rm K}{\rm B}\Delta$ ). Εύκολα διαπιστώνουμε πως το τρίγωνο ${\rm K}{\rm B}{\rm A}\left( {{{48}^ \circ }{{,66}^ \circ }{{,66}^ \circ }} \right)$ είναι ισοσκελές και τα τρίγωνα $\Delta {\rm A}{\rm K},\,{\rm K}{\rm B}{\rm Z}$ είναι ισόπλευρα (μια που ${\rm B}\widehat {\rm A}\Delta = {\rm B}\widehat {\rm K}\Delta = {6^ \circ },\,\Gamma \widehat {\rm B}{\rm K} = {12^ \circ }$ ).

Επίσης, από την ισότητα των τριγώνων ${\rm A}{\rm K}{\rm B},\,\Delta {\rm K}{\rm Z}\,\left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right)$ προκύπτει ότι το $\Delta {\rm K}{\rm Z}$ είναι ισοσκελές. Από την ισότητα των τριγώνων ${\rm A}{\rm B}\Gamma ,\,{\rm E}{\rm Z}\Gamma \,\left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right)$ προκύπτει $\Gamma {\rm B} = \Gamma {\rm Z}$ , οπότε το $\Gamma {\rm B}{\rm Z}$ είναι χρυσό ισοσκελές ( $\Gamma \widehat {\rm B}{\rm Z} = {72^ \circ }$ ) που ως γνωστόν είναι $\Gamma {\rm B} = \Gamma {\rm Z} = \displaystyle\frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right){\rm A}{\rm B}}}{2}$ .Εφόσον $\Delta \widehat {\rm Z}{\rm K} = {48^ \circ }$ και $\Delta {\rm Z}{\rm B}$ ισοσκελές ( ${\rm Z}\widehat {\rm B}\Delta = {84^ \circ }$ ) θα είναι $\Gamma \widehat {\rm Z}{\rm K} = \Delta \widehat {\rm Z}{\rm B} = {12^ \circ }$ , συνεπώς $\Gamma \widehat {\rm Z}\Delta = {60^ \circ }$ .

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $\Gamma {\rm Z}\Delta$ έχουμε: $\Gamma {\Delta ^2} = \Gamma {{\rm Z}^2} + {\rm Z}{\Delta ^2} - 2\Gamma {\rm Z} \cdot {\rm Z}\Delta \sigma \upsilon \nu {60^ \circ }\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm Z}\Delta = {\rm A}{\rm B}} \ldots \Gamma \Delta = \sqrt 2 {\rm A}{\rm B}$ , οπότε τελικά $\displaystyle\frac{{\Gamma \Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \displaystyle\frac{{\sqrt 2 {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \sqrt 2$ .

Βρείτε το λόγο (14)

Βρείτε το λόγο (14)

Re: Βρείτε το λόγο (14)

Re: Βρείτε το λόγο (14)

Μέλη σε σύνδεση