ίσοι κύκλοι!!

#1

Σε τυχαίο σημείο $\displaystyle{ C }$ της διαμέτρου $\displaystyle{ AB }$ ημικυκλίου $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ φέρνουμε την κάθετη $\displaystyle{ Cx }$ . Με διαμέτρους τις $\displaystyle{ CA }$ και $\displaystyle{ CB }$ γράφουμε ημικύκλια $\displaystyle{ \left( K \right),\left( L \right) }$ αντίστοιχα στο εσωτερικό του ημικυκλίου $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ .

Αν $\displaystyle{ \left( {K'} \right) }$ είναι ο κύκλος που εφάπτεται του $\displaystyle{ \left( K \right) }$ , του $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και της ημιευθείας $\displaystyle{ Cx }$ και $\displaystyle{ \left( {L'} \right) }$ ο κύκλος που εφάπτεται του $\displaystyle{ \left( L \right) }$ , του $\displaystyle{ \left( O \right) }$ και της ημιευθείας $\displaystyle{ Cx }$ να δειχθεί ότι οι κύκλοι $\displaystyle{ \left( {K'} \right) }$ και $\displaystyle{ \left( {L'} \right) }$ είναι ίσοι.

Στάθης

#2

προσπάθησα να κάνω σχήμα ,αλλά δεν είχα την υπομονή ...,γι 'αυτό Στάθη σε αντιγράφω
-------------------------------------------------------------------------------

$\bullet$ $\displaystyle{K'S\perp AB,\ AC=a,\ CB=b,\ OA=\frac{a+b}{2}}$

$\bullet$ $\displaystyle{OK' =OA-r\Rightarrow \boxed{OK'=\frac{a+b}{2}-r},\boxed{KK' =\frac{a}{2}+r},\ OK=OA-KA=\frac{a+b}{2}-\frac{a}{2}\Rightarrow \boxed{ OK=\frac{b}{2}}}$

$\bullet$ $\displaystyle{OS=OC+r=OA-a+r\Rightarrow \boxed{OS=\frac{b-a}{2}+r}}$

$\bullet$ με Θ.Οξείας στο $\vartriangle OKK ' \to (KK')^2=(OK)^2+(OK')^2-2 \ OK \ OS$

$\bullet$ αντικαθιστώντας τις σχέσεις που έχουμε και κάνοντας πράξεις (εδώ είναι αόρατες

) καταλήγουμε $\displaystyle{\boxed{r=\frac{ab}{2(a+b)}}}$

$\bullet$ αν εργαστούμε ανάλογα και στο $\vartriangle OLL'$ βρίσκουμε ότι : $\displaystyle{\boxed{r'=\frac{ab}{2(a+b)}}}$

$\bullet$ άρα οι κύκλοι είναι ίσοι

ίσοι κύκλοι!!

ίσοι κύκλοι!!

Re: ίσοι κύκλοι!!

Μέλη σε σύνδεση