τετράγωνο - κύκλος -εμβαδον

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και τεταρτοκύκλια (Γ , α) , (Δ , α) που τέμνονται σε σημείο Ε εντός του τετραγώνου .
Έστω Κ το μέσο του ΓΔ και έστω το ημικύκλιο (Κ , ΚΓ) εντός του τετραγώνου.
Κύκλος (C) εφάπτεται του ημικυκλίου (εξωτερικά ) και των τεταρτοκυκλίων (εσωτερικά).
Συναρτήσει του α να υπολογίσετε :
α)το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΔΕΓ .
β)την ακτίνα ρ του κύκλου (C) .
γ)το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται μεταξύ του μικτόγραμμου ΔΕΓ , του ημικυκλίου
(Κ , ΚΓ) και του (C).

Ιστοσελίδα · #2

Καλησπέρα Γιάννη.

1) Το τρίγωνο $\Delta {\rm E}\Gamma$ είναι ισόπλευρο (3 πλευρές ίσες) με ύψος ${\rm K}{\rm E} = \displaystyle\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2}$ και $\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}\sqrt 3 }}{4}$ . Ισχύει: ${{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda .\,\tau \mu \eta \mu .}}_{\Gamma {\rm E}} = {{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda .\tau o\mu .\left( {\Delta ,\,\Gamma {\rm E}} \right)}} - \left( {\Delta \Gamma {\rm E}} \right) = \displaystyle\frac{{\pi {\alpha ^2} \cdot {{60}^ \circ }}}{{{{360}^ \circ }}} - \displaystyle\frac{{{\alpha ^2}\sqrt 3 }}{4} = {\alpha ^2}\left( {\displaystyle\frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)$ , οπότε $\displaystyle{{{\rm E}_{\mu \iota \kappa \tau .\,\Delta {\rm E}\Gamma }} = {{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda .\tau \mu \eta \mu .\Delta {\rm E}}} + {{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda .\tau o\mu .\left( {\Delta ,\,\Gamma {\rm E}} \right)}} = {\alpha ^2}\left( {\displaystyle\frac{\pi }{3} - \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).}$

2) Έστω ο κύκλος $C\left( {O,R} \right)$ . Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ${\rm K}{\rm O}\Delta$ θα ισχύει: ${\left( {\alpha - R} \right)^2} = {\left( {\displaystyle\frac{\alpha }{2} + R} \right)^2} + {\left( {\displaystyle\frac{\alpha }{2}} \right)^2} \Rightarrow \ldots R = \displaystyle\frac{\alpha }{6}$ .

3) Θα είναι ${{\rm E}_\Omega } = {{\rm E}_{\mu \iota \kappa \tau .\Delta {\rm E}{\rm K}}} - \left( {{{\rm E}_{\eta \mu \iota \kappa .}} + {{\rm E}_{\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon \,C}}\,} \right) = \ldots {\alpha ^2}\left( {\displaystyle\frac{{13\pi - 18\sqrt 3 }}{{72}}} \right).$

Επέκταση: Βρείτε την ακτίνα κύκλου που εφάπτεται στα τόξα ${\rm A}{\rm E},\,{\rm E}{\rm B}$ και την πλευρά ${\rm A}{\rm B}$ συναρτήσει του α.

Γιάννης Ι. · #3

Έστω κύκλος (T,R)

που εφάπτεται στα τόξα AE,EB

και στην πλευρά

Πρέπει

να απέχει από το $\Gamma \ \ \ (\alpha+R)$ και να απέχει από το $\Delta \ \ \ \ (\alpha+R)$
Συνεπώς

ανήκει στη μεσοκάθετο της $\Gamma \Delta$ .Επίσης ώστε να εφάπτεται και με την πλευρά

ο κύκλος

είναι εσωτερικός του τετραγώνου.
Έτσι

μέσο της

όπου

η προβολή του

στην

.

$TE+TH+EK=\alpha$
$2R=\alpha-EK (1)$
Με πυθαγόρειο στο $EK\Gamma$ τρίγωνο $\displaystyle EK=\frac {\sqrt{3}\alpha}{2}$
Με αντικατάσταση στην $\displaystyle (1) \ \ R=\frac{(2-\sqrt{3})\alpha}{4}$

τετράγωνο - κύκλος -εμβαδον

τετράγωνο - κύκλος -εμβαδον

Re: τετράγωνο - κύκλος -εμβαδον

Re: τετράγωνο - κύκλος -εμβαδον

Μέλη σε σύνδεση