Περικύκλωση με τετράγωνο

KARKAR · #1

Σε ορθογώνιο $\displaystyle ABCD$ , με πλευρές AB=a

και

( $a\neq b$ ) , περιγράφω ορθογώνιο EZHK

.

1) Δείξτε ότι το εμβαδόν του EZHK

γίνεται μέγιστο , όταν αυτό είναι τετράγωνο .

2) Αν ... $\displaystyle \frac{(ABCD)}{(EZHK)}=\frac{3}{8}$ , βρείτε το λόγο : $\displaystyle \frac{a}{b}$

Γιώργος Απόκης · #2

1)
Συμπληρώνω το σχήμα με τα τμήματα x,y,p,q και τη γωνία φ. Τότε:

$\displaystyle{(DCH)=(AEB)=\frac{1}{2}a\cdot x\cdot sin\phi}$ και $\displaystyle{(BCZ)=(KAD)=\frac{1}{2}b\cdot q\cdot sin\phi}$ .

Aφού το αρχικό έχει σταθερό εμβαδόν, το νέο ορθογώνιο θα έχει το μέγιστο εμβαδόν όταν
το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων (έστω E_4

) γίνει μέγιστο.

Έχουμε: $\displaystyle{E_4=a\cdot x\cdot sin\phi+b\cdot q\cdot sin\phi= (ax+bq)\sin\phi}$ . Από την ομοιότητα των

AEB,BCZ

έχουμε $\displaystyle{\frac{x}{a}=\frac{q}{b}\Leftrightarrow q=\frac{bx}{a}}$ . Αντικαθιστώντας, έχουμε $\displaystyle{E_4=\left(a+\frac{b^2}{a}\right)x sin\phi=}$

$\displaystyle{=\left(a+\frac{b^2}{a}\right)(acos\phi) sin\phi=(a^2+b^2)sin\phi cos\phi=\frac{1}{2}(a^2+b^2)sin2\phi}$ , το οποίο γίνεται μέγιστο

για $2\phi=90^o\Leftrightarrow \phi=45^o$ . Έτσι, x=y,p=q

άρα το

είναι τετράγωνο.

2)
Από το 1) έχουμε $\displaystyle{(EZHK)=\frac{1}{2}(a^2+b^2)\cdot 1+(ABCD)=\frac{1}{2}(a^2+b^2)+ab=\frac{1}{2}(a+b)^2}$

Ισχύει $\displaystyle{\frac{(ABCD)}{(EZHK)}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow \frac{ab}{\frac{1}{2}(a+b)^2}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow 3a^2-10ab+3b^2=0 \Leftrightarrow (3a-b)(a-3b)=0}$ .

Άρα, έχουμε $\displaystyle{\frac{a}{b}=3}$ ή $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{1}{3}}$

Περικύκλωση με τετράγωνο

Περικύκλωση με τετράγωνο

Re: Περικύκλωση με τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση