Τετράγωνο , τρίγωνο και εμβαδόν !

[Μπάμπης Στεργίου]

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στην πλευρά ΑΔ που δεν είναι το μέσον της.
Να αποδειχθεί ότι :

α) Υπάρχει τρίγωνο ΕΖΗ με τα σημεία Ζ, Η σε δύο πλευρές του τετραγώνου που έχει βαρύκεντρο το κέντρο Ο του ΑΒΓΔ.

β) Το παραπάνω τρίγωνο ΕΖΗ έχει μια κορυφή του στο μέσον πλευράς του ΑΒΓΔ.

γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖΗ είναι τα του (ΑΒΓΔ).

Μπάμπης
( Από διαγωνισμό )

[Γιώργος Απόκης]

Δίνω ένα σχήμα κι επανέρχομαι με τη λύση

[Γιώργος Απόκης]

Για το α)

Για να προσδιορίσω το μέσο Μ της ΖΗ:
Αφού το Ο είναι βαρύκεντρο ισχύει . Άρα, προεκτείνω την ΕΟ κατά .
Για να προσδιορίσω τα Ζ, Η:
To M θα είναι μέσο της ΖΗ, άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΖΓΗ θα πρέπει να ισχύει: .
Άρα, τα Ζ, Η είναι τα σημεία τομής του κύκλου (Μ, ΜΓ) με τις ΔΓ, ΓΒ.

[KDORTSI]

Για το πρώτο ερώτημα απάντησε ο George73

Για το δεύτερο ερώτημα και στο πρώτο σχήμα:
Έστω ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με 2α.
Αν προεκταθεί η διάμεσος ΕΜ τότε αυτή θα τμήσει την απέναντι πλευρά ΒΓ στο σημείο Ν.
Τότε το σημείο Μ είναι μέσο της ΟΝ και η προβολή του Μο πάνω στη ΓΔ θα απέχει από το
σημείο Γ απόσταση ίση με το 1/4 της πλευράς του τετραγώνου, δηλαδή:

Επειδή τώρα το ΜΓΖ είναι ισοσκελές με κορυφή το Μ τότε θα είναι

Άρα:

Δηλαδή η κορυφή Ζ θα βρίσκεται στο μέσο της ΓΔ.

Για το τρίτο ερώτημα και στο δεύτερο σχήμα:
Έστω ότι το σημείο Ε βρίσκεται σε απόσταση χ και προς την κατεύθυνση της κορυφής Α.
Τότε η ΕΟ τέμνει την απέναντι πλευρά ΒΓ στο σημείο Ν που απέχει από το μέσο της ΒΓ απόσταση χ.
Ακόμα το τετράπλευρο ΟΖΝΗ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες του διχοτομούνται.
Έτσι τα τρίγωνα ΓΖΝ και ΟΛΗ είναι ίσα(έχουν δύο πλευρές ίσες: υποτείνουσα- κάθετη)
Άρα ΓΝ=ΛΗ και συνεπώς ΝΛ=ΒΗ=χ.
Επομένως:

Αθροίζοντας έχουμε:

Και τελικά είναι:


Κώστας Δόρτσιος