Το δεύτερο οικόπεδο

KARKAR · #1

Το παρακάτω οικόπεδο $\displaystyle ABCD$ , έχει σχήμα τραπεζίου , με βάσεις $AD=\alpha , BC= \beta$ με $\alpha <\beta$

1) Αν ο mr. Green

πάρει τα πράσινα τρίγωνα , και η Ροζαλία τα φούξια , είναι δίκαιη η διανομή ;

2) Ποιά πρέπει να είναι η σχέση μεταξύ των βάσεων του τραπεζίου , ώστε η Ροζαλία να πάρει έκταση

ίση με τουλάχιστον το

% , της έκτασης του οικοπέδου του mr. Green

;

#2

Φέρνουμε το ύψος υ=ΚΜ του τραπεζίου που διέρχεται από το S.

Τα τρίγωνα ADS, BCS είναι όμοια (οι γωνίες ASD, BSC είναι κατακορυφήν και οι γωνίες SBC, SDA είναι εντός εναλλάξ), άρα $\displaystyle{\frac{AD}{BC}=\frac{MS}{SK} \Leftrightarrow \frac{a}{\beta}=\frac{MS}{SK} \Leftrightarrow\frac{a}{a + \beta}=\frac{MS}{MS+SK} \Leftrightarrow MS = \frac{a}{a + \beta}\upsilon }$ .

Επίσης: $\displaystyle{SK=KM-SM=\upsilon -\frac{a}{a + \beta}\upsilon =\frac{\beta}{a + \beta}\upsilon }$ .

Συνεπώς:

$\displaystyle{E_{\pi \rho.}=(ASD)+(SBC)=\frac{a \cdot MS}{2}+\frac{\beta \cdot KS}{2}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{a + \beta}\upsilon +\frac{\beta} {2} \cdot \frac{\beta}{a + \beta}\upsilon =\frac{a^2+\beta^2}{2(a + \beta)}\upsilon}$

και

$\displaystyle{E_{\rho o \zeta}=(ABCD)-E_{\pi \rho.} = \frac{a+\beta}{2}\upsilon-\frac{a^2+\beta^2}{2(a + \beta)}\upsilon=\frac{a \beta}{a + \beta}\upsilon}$ .

Όμως:
$\displaystyle{(a-\beta)^2 > 0 \Leftrightarrow a^2+\beta^2 > 2a\beta \Leftrightarrow \frac{a^2+\beta^2}{2}>a \beta \Leftrightarrow \frac{a^2+\beta^2}{2(a+\beta)}\upsilon>\frac{a \beta } {a + \beta}\upsilon \Leftrightarrow E_{\pi \rho.}>E_{\rho o \zeta}}$ ,

1) Συνεπώς κορόϊδο η Ροζαλία!!!!

2) Θέλουμε:

$\displaystyle{0,8 E_{\pi \rho.}\leq E_{\rho o \zeta} \Leftrightarrow \frac{4}{5}\frac{a^2+\beta^2}{2(a+\beta)}\upsilon \leq\frac{a \beta } {a + \beta}\upsilon \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{4}{5}\frac{a^2+\beta^2}{2} \leq a \beta \Leftrightarrow 2a^2+2\beta^2 \leq 5a \beta \Leftrightarrow 2a^2-5a \beta + 2\beta^2 \leq 0 \Leftrightarrow a \in \left [ \frac{\beta}{2}, 2\beta \right] }$ , και αφού α < β,
έχουμε $\displaystyle{a \in \left [ \frac{\beta}{2}, \beta \right) }$ .

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον KARKAR για την υπόδειξη ενός λάθους.

Το δεύτερο οικόπεδο

Το δεύτερο οικόπεδο

Re: Το δεύτερο οικόπεδο

Μέλη σε σύνδεση