Εμβαδόν και γωνίες

KARKAR · #1

Δύο ίσοι κύκλοι , με κοινή ακτίνα την OK=R

, τέμνονται στο

, από το οποίο διέρχεται διατέμνουσα CAB

.

Οι εφαπτόμενες στα C , B

τέμνονται στο

. Βρείτε τις γωνίες του πενταγώνου OCDBK

, όταν αυτό έχει μέγιστο εμβαδόν.

S.E.Louridas · #2

Θανάση θεωρώ την άσκηση πολύ καλή επιστημονικά, αφού δίνει δυνατότητες δυναμικής αντιμετώπισης (κίνηση, οριακές θέσεις κ.τ.λ.).

► Παρατηρούμε ότι:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\angle CDB = 180^ \circ - \left( {\angle DCB + \angle DBC} \right) = 180^ \circ - \left( {\angle EOA + \angle AKF} \right) = } \\ {\angle EAO + \angle FAK = 180^ \circ - 60^ \circ = 120^ \circ ,o\tau \alpha \nu \;OE \bot CB,KF \bot CB} \\ \end{array} } \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\angle CDB = 180^ \circ - \left( {\angle DCB + \angle DBC} \right) = 180^ \circ - \left( {\angle EOA + \angle AKF} \right) = } \\ {\angle EAO + \angle FAK = 180^ \circ - 60^ \circ = 120^ \circ .} \\ \end{array} } \right.$
Με τα Ε, F σημεία της CB.
Άρα $\left( {CDB} \right) \leqslant \left( {CLB} \right),$ όταν L είναι το μέσον του τόξου CDB.
Το μέγιστο εμβαδό του COKB το επιτυγχάνουμε όταν έχουμε σαν μέγιστο το
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {X \equiv \left( {EOKF} \right),\alpha \varphi o\upsilon \;\iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota ,} \\ {\left( {COA} \right) + \left( {AKB} \right) + \left( {AOK} \right) = 2\left[ {\left( {EOA} \right) + \left( {AKF} \right) + \left( {AOK} \right)} \right] - \left( {AOK} \right).} \\ \end{array} } \right.$
Με την σειρά του το (E O K F) γίνεται μέγιστο, όταν το EF είναι μέγιστο και ταυτόχρονα η διάμεσος του τραπεζίου (E O K F) να είναι μέγιστου μήκους.
Αυτό επιτυγχάνεται όταν $CB\parallel OK.$
Με βάση τα προηγούμενα το Maximum του πενταγώνου OCDBK επιτυγχάνεται τελικά όταν $CB\parallel OK.$
Εδώ πλέον εύκολα υπολογίζουμε τις γωνίες.
Δηλαδή παίρνουμε ότι:
$\angle D = \angle O = \angle K = 120^ \circ \;\kappa \alpha \iota \;\angle C = \angle B = 90^ \circ .$

S.E.Louridas

Εμβαδόν και γωνίες

Εμβαδόν και γωνίες

Re: Εμβαδόν και γωνίες

Μέλη σε σύνδεση