Πάλι μέσον ;

[KARKAR]

Δίνεται κύκλος με τα σταθερά , αντιδιαμετρικά σημεία του , και ευθεία , με το σταθερό της σημείο .

Να βρεθεί σημείο , επί του κύκλου , ώστε αν οι , τέμνουν την ευθεία στα σημεία αντίστοιχα ,

το να είναι το μέσο του .

[S.E.Louridas]

Με κάθε επιφύλαξη:

Προσδιορίζουμε σημείο Τ σαν τομή κύκλου με διάμετρο ΟΜ και του γ. τοπου των μέσων των BL.
Αν ενώσουμε το Β με το Τ προσδιορίζουμε το L, το οποίο ενώνουμε με το Α και παίρνουμε το S (ή θεωρούντες κάθετη από το Β στην ΚT μέχρι την τομή της με την περιφέρεια ώτε να φανεί ξεκάθαρα οτι η ΚT είναι μεσοκάθετη της BS), οπότε η τομή της ημιευθείας ΒS με την (ε) δίνει το Κ.
Λόγω του θεωρήματος: αν από το μέσο πλευράς τριγώνου θεωρήσουμε παράλληλη πρός μία άλλη θα περνά από το μέσο της τρίτης, παίρνουμε οτι το Μ είναι μέσο της ΚL.

(*) Πολύ καλά κρυμμένη κατασκευή

S.E.Louridas

[chris_gatos]

Πάντα μέσον!!

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Άλλη μία αντιμετώπιση:
Εφαρμόζουμε στο σχήμα συμμετρία κέντρου Μ.
Αν Α', Β', Ο' κλπ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Ο αντίστοιχα, τα ζητούμενα σημεία K,L βρίσκονται σαν τομή των κύκλων διαμέτρου ΑΒ' η Α'Β με την ευθεία.
Γενικά έχουμε δύο λύσεις.
Εκκρεμεί η αναλυτική διερεύνηση.
Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται όμοια και στην περίπτωση που τα Α,Β δεν είναι αντιδιαμετρικά, αλλά τυχαία, οπότε κατασκευάζουμε κύκλο χορδής ΑΒ' που φαίνεται υπό γνωστή γωνία.

[S.E.Louridas]

Πάντα και μόνο στα πλαίσια του Μαθηματικού πλουραλισμού και των " Επαγωγικών " γενικεύσεων.
Ας επιχειρήσουμε να γενικεύσουμε, λοιπόν, για χορδή AB και σημείο της Ο, ώστε:


Ας δούμε την μέθοδο που ανέφερα για το αρχικό πρόβλημα μέσω του σχήματος που ακολουθεί όταν
Με την δέουσα βέβαια διερεύνηση.

O.Q. Τί γίνεται όταν λ<0 ;

S.E.Louridas