Ελάχιστη περίμετρος

KARKAR · #1

Επί της διχοτόμου

, γωνίας $xAy=2\phi$ , παίρνω σημείο

, ώστε

Κύκλος που διέρχεται από τα A , S

, τέμνει τις πλευρές της γωνίας , στα σημεία B , C

Να βρεθεί συναρτήσει των $a , \phi$ , η ελάχιστη δυνατή περίμετρος του τριγώνου $\displaystyle ABC$

S.E.Louridas · #2

Εχουμε (από θ. Πτολεμαίου ή από θ. Mac Laurin), οτι το άθροισμα AB+AC=2ΑΚ (Κ η προβολή του S σε μία από τις πλευρές της γωνίας) είναι σταθερό.
Αρα αρκεί η BC να είναι ελάχιστου μήκους που αυτό επιτυγχάνεται οταν ό κύκλος έχει διάμετρο ΑS.

(*) το αποτέλεσμα πρέπει να είναι
$2\alpha tan\phi +\frac{\alpha sin2\phi }{2}$

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #3

Επειδή σε τέτοιες ασκήσεις ποιότητας όπως αυτή του Θανάση οι λύσεις πρέπει να απλώνονται.

● Το τμήμα AS είναι σταθερού μήκους α.
Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABSC και παίρνουμε:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {AB \cdot d + AC \cdot d = ab \Rightarrow \left( {AB + AC} \right)d = ab \Rightarrow AB + AC = a\frac{b} {d} = a\frac{{\sin 2\varphi }} {{\sin \gamma }} \Rightarrow } \\ {AB + AC = 2a\cos \varphi ,\;ct,\dot o\tau \alpha \nu \;SB = SC = d\,\left( {AS\;\delta \iota \chi o\tau \dot o\mu o\varsigma } \right),\;BC = b.} \\ \end{array} } \right.$

Συνεπώς ζητάμε το ελάχιστο μήκος BC που είναι πλευρά του «κινούμενου» ισοσκελούς τριγώνου OBC που όμως διατηρείται όμοιο προς τον εαυτό του καθότι η γωνία του <BOC= 4φ είναι σταθερού μέτρου. Το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές με OB=OC=OA=OS=R.
Τελικά, λοιπόν, ζητάμε το ελάχιστο R που επιτυγχάνεται όταν το Ο γίνει μέσο του AS δηλαδή όταν το AS γίνει διάμετρος του Ο.

S.E.Louridas

KARKAR · #4

Κάπως αναλυτικότερα : Είναι $\tau \rho \iota \gamma SBD=\tau \rho \iota \gamma SCE$ (ορθογώνια με SD=SE

(

διχοτόμος )

και SB=SC

(χορδές ίσων τόξων , λόγω των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών )) .

Συνεπώς : BD=CE

δηλαδή $\displaystyle AB+AC=AD+AE= 2AD= 2s =2acos\phi$ . Άρα η ελάχιστη περίμετρος του ABC

,

επιτυγχάνεται , όταν το μήκος της

γίνει ελάχιστο . Μπορούμε τώρα να δείξουμε , ότι αυτό συμβαίνει για AB = AC (=s)

.

Πράγματι είναι : $\displaystyle BC^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc{\cdot}cos2\phi =(b+c)^{2}-2bc(1+cos2\phi )$ , οπότε :

$\displaystyle BC^{2}=4s^{2}-2s^{2}(1+cos2\phi )=4s^{2}(1-\frac{1+cos2\phi }{2})\Rightarrow BC=2s{\cdot}sin\phi$ . Τελικά :

$L= 2acos\phi +2s{\cdot}sin\phi =2acos\phi +2acos\phi sin\phi =2acos\phi(1+sin\phi )$

Σημ. Χρησιμοποιήθηκε το λήμμα , σύμφωνα με το οποίο , όταν τό άθροισμα δύο τμημάτων είναι σταθερό ,

τότε το γινόμενο τους γίνεται μέγιστο , όταν τα δύο τμήματα είναι ίσα .

Απόδειξη : α) Αλγεβρική : Είναι : $\displaystyle xy=\frac{(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}{4}$ και επειδή x+y

σταθερό το

μεγιστοποιείται για x=y

β) Γεωμετρική : Έστω ημικύκλιο διαμέτρου x+y

(σχήμα 2) . Επειδή $xy=MT^{2}$ , προφανώς το

μεγιστοποιείται ,

όταν

μέγιστο , πράγμα που προφανώς συμβαίνει όταν

μέσο της

S.E.Louridas · #5

Ακριβώς Θανάση το ότι AB+AC=2AD (στο σχήμα σου και με τα δεδομένα πάνω σε αυτό), είναι από το γνωστό θεώρημα του MacLauren που ανέφερα σαν δεύτερο τρόπο αντιμετώπισης στην αρχή και χαίρομαι που το ανέδειξες.

S.E.Louridas

Ελάχιστη περίμετρος

Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση