σχεση εμβαδών

#1

Έστω $\displaystyle{ M }$ τυχαίο εσωτερικό σημείο ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ MA = \ell ,MB = m,MC = n }$ οι αποστάσεις του από τις κορυφές $\displaystyle{ A,B,C }$ αντίστοιχα.

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{ \widehat{BMC},\widehat{CMA},\widehat{AMB} }$ τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{ BC,CA,AB }$ στα σημεία $\displaystyle{ D,E,Z }$ αντίστοιχα να δειχθεί ότι: $\displaystyle{ \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{2\ell mn}} {{\left( {\ell + m} \right)\left( {m + n} \right)\left( {n + \ell } \right)}}} }$

Υ.Σ. Το παραπάνω θέμα είναι μια εφαρμογή ενός γενικότερου θέματος που έχω θέσει πριν λίγο καιρό εδώ. Δεν "θυμάμαι" πού ακριβώς είναι αλλά είμαι βέβαιος ότι θα βρεθεί!!!.

Στάθης

#2

Αν $\displaystyle AB=BC=CA=a$ και $\displaystyle E(ABC)=E$
τότε από το Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου θα είναι:
$\displaystyle AZ=\frac{al}{m+l}, \ \ BZ=\frac{am}{m+l}$
$\displaystyle BD=\frac{am}{m+n}, \ \ CD=\frac{an}{m+n}$
$\displaystyle CE=\frac{an}{n+l}, \ \ AE=\frac{al}{n+l}$
Επομένως:
$\displaystyle \frac{\left(AZE \right)}{E}=\frac{AZ.AE}{AB.AC}=\frac{\frac{al.al}{\left(m+l \right)\left(n+l \right)}}{a^2}=\frac{l^2}{(m+l)(n+l)}$
όμοια:
$\displaystyle \frac{\left(BDZ \right)}{E}=\frac{m^2}{(n+m)(l+m)}$
$\displaystyle \frac{\left(CDE \right)}{E}=\frac{n^2}{(l+n)(m+n)}$
άρα για το ζητούμενο εμβαδόν ισχύει:
$\displaystyle \frac{DEZ}{E}=\frac{E-\left(AZE \right)-\left(BDZ \right)-\left(CDE \right)}{E}=\\=1-\frac{l^2}{(m+l)(n+l)}-\frac{m^2}{(n+m)(l+m)}-\frac{n^2}{(l+n)(m+n)}=\frac{2lmn}{(m+n)(n+l)(l+m)}$
Άρα:
$\displaystyle \frac{DEZ}{E}=\frac{2lmn}{(m+n)(n+l)(l+n)}$

Κώστας Δόρτσιος

σχεση εμβαδών

σχεση εμβαδών

Re: σχεση εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση