μετρικές με τετράγωνα

#1

Έστω $\displaystyle{ \ell ,m,n }$ είναι τα μήκη των πλευρών των τετραγώνων που είναι εγγεγραμμένα σε τυχαίο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ (με μια τους πλευρά να ανήκει σε πλευρά του τριγώνου)

να δειχθεί ότι: $\displaystyle{ \boxed{\frac{1} {\ell } + \frac{1} {m} + \frac{1} {n} = \frac{1} {\rho } + \frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c}} }$ , όπου $\displaystyle{ a,b,c }$ τα μήκη των πλευρών $\displaystyle{ BC,CA,AB }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ \rho }$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Στάθης

k-ser · #2

Μια εύκολη λύση:

Είναι $\displaystyle (ABC)=\ell^2+\frac{\ell(\upsilon_a-\ell)}{2}+\frac{\ell(a-\ell)}{2}$ άρα $\displaystyle \color{red}\boxed{\color{blue}{\frac{2(ABC)}{\ell}=\upsilon_a+a}}$
ομοίως
$\displaystyle \color{red}\boxed{\color{blue}{\frac{2(ABC)}{m}=\upsilon_b+b}}$
και
$\displaystyle \color{red}\boxed{\color{blue}{\frac{2(ABC)}{n}=\upsilon_c+c}}$
προσθέτοντας κατά μέλη και διαιρώντας με $\displaystyle 2(ABC)=a\cdot \upsilon_a=b\cdot \upsilon_b=c\cdot \upsilon_c$
έχουμε
$\displaystyle \frac{1}{\ell}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{a+b+c}{2(ABC)}+\frac{\upsilon_a}{a\cdot \upsilon_a}+\frac{\upsilon_b}{b\cdot \upsilon_b}+\frac{\upsilon_c}{c\cdot \upsilon_c}$
και εφόσον
$\displaystyle (ABC)=\rho\cdot\frac{a+b+c}{2}$
τελικά
$\displaystyle \color{red}\boxed{\color{blue}{\frac{1}{\ell}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{\rho}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}$

μετρικές με τετράγωνα

μετρικές με τετράγωνα

Re: μετρικές με τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση