Σκιασμένα και λευκά

[Γιώργος Απόκης]

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο . Xωρίζουμε κάθε πλευρά του σε τέσσερα ίσα τμήματα και ενώνουμε όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των σκιασμένων τετραπλεύρων είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των λευκών.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόκειται για παλιά και πολυσυζητημένη άσκηση, αλλά άντε βρες την.

Αξίζει πάντως να ασχοληθείτε, αν δεν την έχετε δει. Αν θυμάμαι καλά, είχε πέσει σε Ρωσική Ολυμπιάδα.

Στο ίδιο μήκος κύματος είναι και το "θεώρημα της πίτσας" εδώ

Μ.

[Christos.N]

Καλησπέρα το παρακάτω σχήμα διαφωτίζει.

Τα ΜΟ, ΟΞ, ΟΝ ,ΟΡ είναι ίσα γιατι τα σημεία Μ,Ξ,Ν,Ρ ενώνουν μεσα τετραπλεύρου αρα σχηματίζουν παραλληλόγραμμο συνεπώς οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Διαδοχικά παίρνοντας όΛα τα τετράπλευρα που σχηματίζονται αποδεικνύουμε ότι όλα τα σημεία τομής της ευθείας που ενώνει δύο απέναντι πλευρές με τις άλλες ευθείες σχηματίζουν ίσα ευθύγραμμα τμήματα.

Θα επικεντρωθώ μόνο στο κάτω αριστερό τετράπλευρο για το οποίο ισχύει:


Γενικεύοντας έχουμε το ζητούμενο.