Ρίζες εμβαδών

hlkampel · #1

Από εσωτερικό σημείο ${\rm M}$ τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ φέρνουμε $\Delta {\rm H}//{\rm A}{\rm B}$ , $\Theta {\rm E}//{\rm A}\Gamma$ και ${\rm Z}{\rm I}//{\rm B}\Gamma$ (όπως φαίνεται στο σχήμα). Να αποδειχτεί ότι:

$\sqrt {\left( {{\rm M}\Delta {\rm E}} \right)} + \sqrt {\left( {{\rm M}{\rm Z}{\rm H}} \right)} + \sqrt {\left( {{\rm M}\Theta {\rm I}} \right)} = \sqrt {\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Είναι γνωστό ότι ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας.
Φυσικά τα τρίγωνα ΜΔΕ, ΑΒΓ είναι όμοια.
Έτσι $\frac{\left(AB\Gamma \right)}{(M\Delta E\lef)}=\frac{B\Gamma ^{2}}{\Delta E^{2}}$
Συνεπώς $\frac{\left(AB\Gamma \right)}{B\Gamma ^{2}}=\frac{\left(M\Delta E \right)}{\Delta E^{2}}$
Από την ομοιότητα των τριγώνων ΜΘΙ,ΑΒΓ προκύπτει ότι $\frac{\left(AB\Gamma \right)}{B\Gamma ^{2}}=\frac{\left(M\Theta I \right)}{IM^{2}}$ .
Από την ομοιότητα των τριγώνων ΜΖΗ,ΑΒΓ προκύπτει ότι $\frac{\left(AB\Gamma \right)}{B\Gamma ^{2}}=\frac{\left(MZH\right)}{MZ^{2}}$
Επομένως έχουμε παίρνοντας τις τετραγωνικές ρίζες των τριών προηγουμένων ισοτήτων
$\frac{\sqrt{\left(AB\Gamma \right)}}{B\Gamma }=\frac{\sqrt{\left(M\Delta E \right)}}{\Delta E}=\frac{\sqrt{\left(M\Theta I \right)}}{IM}=\frac{\sqrt{\left(MZH \right)}}{MZ}$
ή
$\frac{\sqrt{\left(AB\Gamma \right)}}{B\Gamma }=\frac{\sqrt{\left(M\Delta E \right)}+\sqrt{\left(M\Theta I \right)}+\sqrt{\left(MZH \right)}}{\Delta E+IM+MZ}=\frac{\sqrt{\left(M\Delta E \right)}+\sqrt{\left(M\Theta I \right)}+\sqrt{\left(MZH \right)}}{\Delta E+B\Delta +E\Gamma }=\frac{\sqrt{\left(M\Delta E \right)}+\sqrt{\left(M\Theta I \right)}+\sqrt{\left(MZH \right)}}{B\Gamma }$
όπου οι ισότητες ΒΔ=ΙΜ και ΕΓ=ΜΖ προκύπτουν από τα εμφανιζόμενα παραλληλόγραμμα.
Τώρα πια η ζητουμένη ισότητα είναι αμέσως προκύπτουσα.

Ρίζες εμβαδών

Ρίζες εμβαδών

Re: Ρίζες εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση