Τρίγωνο - τριγωνάκι

hlkampel · #1

Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με πλευρές $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma$ . Στις πλευρές ${\rm A}{\rm B},\;{\rm B}\Gamma$ και $\Gamma {\rm A}$ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία $\Lambda ,\;{\rm Z},\;\Theta$ τέτοια ώστε να ισχύουν ${\rm A}\Lambda = \frac{\gamma }{4}$ , ${\rm B}{\rm Z} = \frac{\alpha }{4}$ και $\Gamma \Theta = \frac{\beta }{4}$ .
Από τα σημεία $\Lambda ,\;{\rm Z},\;\Theta$ φέρνουμε $\Lambda {\rm H}//{\rm A}\Gamma$ , ${\rm Z}{\rm K}//{\rm A}{\rm B}$ και $\Theta {\rm E}//{\rm B}\Gamma$ , όπου τα σημεία ${\rm H},\;{\rm K},\;{\rm E}$ είναι σημεία των πλευρών του τριγώνου.
Αν οι $\Lambda {\rm H},\;{\rm Z}{\rm K},\;\Theta {\rm E}$ τέμνονται ανά δύο στα σημεία $\Pi ,\;{\rm O},\;{\rm P}$ τότε:
α) Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου $\Pi {\rm O}{\rm P}$ σαν συνάρτηση των $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma$ .
β) Αν $R,\;\rho$ είναι αντίστοιχα οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Pi {\rm O}{\rm P}$ , να αποδείξετε ότι $R = 4 \cdot \rho$

#2

α) Από τη δοθείσα παραλληλία και το θεώρημα του Θαλή προκύπτει:
$\displaystyle A\Lambda =BE=\frac{\gamma }{4}, \ \ BZ=H\Gamma =\frac{\alpha }{4}, \ \ \Gamma \Theta =AK=\frac{\beta }{4} \ \ (1)$
ακόμα:
$\displaystyle E\Lambda =\frac{\gamma }{2}, \ \ HZ=\frac{\alpha }{2}, \ \ K\Theta =\frac{\beta }{2} \ \ (2)$
Επίσης από τα παραλληλόγραμμα: ΑΚΟΛ, ΒΕΠΖ και ΓΘΡΗ θα είναι:
$\displaystyle OK=\Pi Z=\frac{\gamma }{4}, \ \ \Lambda O=PH=\frac{\beta }{4}, \ \ E\Pi =P\Theta =\frac{\alpha }{4} \ \ (3)$
Αν φέρουμε την ΛΚ τότε από το θεώρημα του Θαλή θα είναι ΛΚ//ΒΓ και το ΒΖΚΛ θα είναι παραλληλόγραμμο. Άρα
$\displaystyle KZ=B\Lambda$
και σύμφωνα με τις (1) και (2) θα είναι ακόμα:
$\displaystyle KZ=B\Lambda \Rightarrow KO+O\Pi +\Pi Z=BE+E\Lambda\Rightarrow \\2KO+O\Pi =\frac{\gamma }{4}+\frac{\gamma }{2}\Rightarrow 2\frac{\gamma }{4}+O\Pi =\frac{\gamma }{4}+\frac{\gamma }{2}\Rightarrow O\Pi =\frac{\gamma }{4}$
Όμοια βρίσκεται ότι:
$\displaystyle \Pi P=\frac{\alpha }{4}, \ \ OP=\frac{\beta }{4}$

β) Από το τον τύπο:
$\dispaystyle E=\frac{\alpha .\beta. \gamma }{4R}$
θα είναι:
$\dispaystyle \frac{E(AB\Gamma) }{E(O\Pi P)}=\frac{\frac{\alpha \beta \gamma }{4R}}{\frac{O\Pi .\Pi P.PO}{4r}} \ \ (4)$
τέλος επειδή τρίγωανα ΑΒΓ και ΟΠΡ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\dispaystyle \lambda =4$
ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων αυτών θα είναι ακόμα:
$\dispaystyle \frac{E(AB\Gamma) }{E(O\Pi P)}=\lambda ^2=4^2 \ \ (5)$
Από τις (4) και (5) θα είναι:
$\dispaystyle \frac{\alpha \beta \gamma }{O\Pi .\Pi P.PO}.\frac{r}{R}=4^2\Rightarrow 4^3.\frac{r}{R}=4^2\Rightarrow R=4r$

Κώστας Δόρτσιος

Τρίγωνο - τριγωνάκι

Τρίγωνο - τριγωνάκι

Re: Τρίγωνο - τριγωνάκι

Μέλη σε σύνδεση