Λίγο απ όλα

erxmer · #1

Στις πλευρές AB, AC, BC

ενός τριγώνου παίρνουμε σημεία D, E, Z

ώστε

με $l \in (0,1)$ . Να βρεθεί

1) ο λόγος των εμβαδών (DEZ), (ABC)

) ως πρός

2) για ποιά τιμή του

το εμβαδό του DEZ

είναι ελάχιστο

3) Αν M,N,P

είναι τα μέσα των πλευρών του ABC

δείξτε οτι το εμβαδό του MNP

είναι μικρότερο ή και ίσο με του αρχικού τριγώνου

4) να υπολογιστεί συναρτήσει του

και των πλευρών του αρχικου τριγώνου (έστω a, b, c

) το εμβαδό μεταξύ του εγγεγραμμένου κύκλου του DEZ

και του περιγεγραμμένου του ABC

#2

Έχουμε δείξει εδώ viewtopic.php?f=22&t=16521 (συννημένα σελίδα 1 και 2(τύπος (7α))) ότι το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle DEZ }$ εγγεγραμμένου σε τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

(όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα – κάθε κορυφή του σε μία πλευρά του αρχικού) δίνεται από τον τύπο: $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) = \frac{{AD \cdot BZ \cdot CE + DB \cdot CZ \cdot EA}} {{abc}} \cdot \left( {ABC} \right) }$ (χρησιμοποιώ τη σημειολογία του erxmer) ο οποίος διαμορφώνεται ως εξής:

$\displaystyle{ \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{AD \cdot BZ \cdot CE + DB \cdot CZ \cdot EA}} {{abc}}}:\left( 1 \right) }$ Για το δικό μας πρόβλημα είναι $\displaystyle{ AD = \ell AB \Rightarrow \boxed{AD = \ell \cdot c} \Rightarrow \ldots \boxed{BD = \left( {1 - \ell } \right) \cdot c} }$ και με όμοιο τρόπο βρίσκουμε

$\displaystyle{ \boxed{BZ = \ell \cdot a},\boxed{ZC = \left( {1 - \ell } \right) \cdot a},\boxed{CE = \ell \cdot b},\boxed{EA = \left( {1 - \ell } \right) \cdot b} }$ οπότε με αντικατάσταση στη σχέση $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\ell ^3 abc + \left( {1 - \ell } \right)^3 abc}} {{abc}} \Rightarrow \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\left[ {\ell ^3 + \left( {1 - \ell } \right)^3 } \right]abc}} {{abc}} \Rightarrow \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \ell ^3 + \left( {1 - \ell } \right)^3 \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \ldots \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = 3\ell ^2 - 3\ell + 1}:\left( 2 \right) }$

β) Από τη σχέση $\displaystyle{ \left( 2 \right) }$ είναι φανερό ότι το ελάχιστο του $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) }$ για σταθερό $\displaystyle{ \left( {ABC} \right) }$ θα προκύψει για την τιμή του $\displaystyle{ \ell }$ για την οποία η συνάρτηση

$\displaystyle{ f\left( \ell \right) = 3\ell ^2 - 3\ell + 1 }$ θα πάρει την ελάχιστη τιμή της. H $\displaystyle{ f }$ είναι τριώνυμο με $\displaystyle{ \alpha = 3 > 0 }$ και θα πάρει την ελάχιστη τιμή της για $\displaystyle{ \ell _0 = \left( { - \frac{\beta } {{2\alpha }}} \right) = - \frac{{ - 3}} {{2 \cdot 3}} \Rightarrow \boxed{\ell _0 = \frac{1} {2}} }$

γ) Είναι προφανές ότι αν $\displaystyle{ M,N,P }$ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου για το $\displaystyle{ \left( {MNP} \right) }$ θα ισχύει ο τύπος $\displaystyle{ \left( 2 \right) }$ για $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) \to \left( {MNP} \right) }$ και $\displaystyle{ \ell = \frac{1} {2} }$ οπότε ο τύπος $\displaystyle{ \left( 2 \right) }$

γίνεται $\displaystyle{ \frac{{\left( {MNP} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = 3 \cdot \frac{1} {4} - 3 \cdot \frac{1} {2} + 1 \Rightarrow \ldots \frac{{\left( {MNP} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{1} {4} \Rightarrow \left( {MNP} \right) = \frac{1} {4}\left( {ABC} \right) < \left( {ABC} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {MNP} \right) \leqslant \left( {ABC} \right)} }$

(γιατί και το ίσο!!!)

δ) Στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ADE }$ από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:
$\displaystyle{ DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2AD \cdot AE \cdot \sigma \upsilon \nu A\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \nu A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }} {{2bc}}} \ell ^2 c^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 b^2 - 2\ell c\left( {1 - \ell } \right)b\frac{{b^2 + c^2 - a^2 }} {{2bc}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ DE^2 = \ell ^2 c^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 b^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {b^2 + c^2 - a^2 } \right) \Rightarrow \ldots \boxed{DE = \sqrt {\ell ^2 c^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 b^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {b^2 + c^2 - a^2 } \right)} } }$

Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle{ \boxed{DZ = \sqrt {\ell ^2 a^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 c^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {a^2 + c^2 - b^2 } \right)} } }$ και $\displaystyle{ \boxed{ZE = \sqrt {\ell ^2 b^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 a^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {b^2 + a^2 - c^2 } \right)} } }$ . Αν λοιπόν $\displaystyle{ \tau ' }$ είναι η ημιπερίμετρος του $\displaystyle{ \vartriangle DEZ }$ τότε θα είναι:

$\displaystyle{ \tau ' = \frac{{\sqrt {\ell ^2 c^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 b^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {b^2 + c^2 - a^2 } \right)} }} {2} + \frac{{\sqrt {\ell ^2 a^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 c^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {a^2 + c^2 - b^2 } \right)} }} {2} + }$ $\displaystyle{ \frac{{\sqrt {\ell ^2 b^2 + \left( {1 - \ell } \right)^2 a^2 - 2\ell \left( {1 - \ell } \right)\left( {b^2 + a^2 - c^2 } \right)} }} {2} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\tau ' = g\left( {a,b,c,\ell } \right)}:\left( 3 \right) }$

Επίσης από τον τύπο του Ηρωνα θα είναι:

$\displaystyle{ \left( {ABC} \right) = \sqrt {\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)} \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right):\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = 3\ell ^2 - 3\ell + 1 \to \left( {DEZ} \right) = \left( {3\ell ^2 - 3\ell + 1} \right)\left( {ABC} \right)} \ldots }$ $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) = \left( {3\ell ^2 - 3\ell + 1} \right)\sqrt {\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)} \Rightarrow \boxed{\left( {DEZ} \right) = h\left( {a,b,c,\ell } \right)}:\left( 4 \right) }$

Αν λοιπόν $\displaystyle{ r,R }$ είναι οι ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle DEZ }$ και του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

τότε προφανώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle{ \boxed{E = \pi R^2 - \pi r^2 }:\left( 5 \right) }$

Όμως $\displaystyle{ \left( {ABC} \right) = \frac{{abc}} {{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}} {{4\left( {ABC} \right)}} \Rightarrow R = \frac{{abc}} {{4\sqrt {\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)} }} \Rightarrow \boxed{\pi R^2 = \frac{{\left( {abc} \right)^2 }} {{16\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)}}}:\left( 6 \right) }$

και $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) = \tau ' \cdot r \Rightarrow r = \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\tau '}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),\left( 4 \right)} \boxed{\pi r^2 = \pi \frac{{h^2 \left( {a,b,c,\ell } \right)}} {{g^2 \left( {a,b,c,\ell } \right)}}}:\left( 7 \right) }$ . Οπότε: $\displaystyle{ \left( 5 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 6 \right),\left( 7 \right)} \boxed{E = \frac{{\left( {abc} \right)^2 }} {{16\tau \left( {\tau - a} \right)\left( {\tau - b} \right)\left( {\tau - c} \right)}} - \pi \frac{{h^2 \left( {a,b,c,\ell } \right)}} {{g^2 \left( {a,b,c,\ell } \right)}}} }$

Υ.Σ. Ίσως μετά από πράξεις να βγει πιο απλός ο τύπος αλλά να με συμπαθάτε (δεν είναι ώρα για πράξεις!!!)

Ευχαριστώ
Στάθης

Λίγο απ όλα

Λίγο απ όλα

Re: Λίγο απ όλα

Μέλη σε σύνδεση