Μέγιστη τιμή λόγου

KARKAR · #1

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι $\widehat {B}=60^{o}$ και $\widehat {C}=45^{o}$ . Από σημείο

της

φέρω

$DE\perp AB$ και $DZ\perp AC$ . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του λόγου : $\displaystyle \frac{(DEZ)}{(ABC)}$

#2

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BDE\mathop \Rightarrow \limits^{\hat B = 60^0 } \boxed{\widehat{BDE} = 30^0 }:\left( 1 \right) }$ . Ομοίως από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle DZC\mathop \Rightarrow \limits^{\hat C = 45^0 } \boxed{\widehat{CDZ} = 45^0 }:\left( 2 \right) }$ . Από $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{\widehat{EDZ} = 105^0 }:\left( 3 \right) }$

Ομοίως βρίσκουμε: $\displaystyle{ \hat B + \hat C = 60^0 + 45^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle ABC} \boxed{\hat A = 75^0 }:\left( 4 \right) }$ . Από τις σχέσεις $\displaystyle{ \left( 3 \right),\left( 4 \right) }$ προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle EDZ,\vartriangle ABC }$ έχουν δύο γωνίες παραπληρωματικές οπότε

«ο λόγος των εμβαδών τους θα είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες αυτές» δηλαδή:

$\displaystyle{ \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{DE \cdot DZ}} {{AB \cdot AC}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{DE \cdot DZ}} {{bc}}}:\left( 5 \right) }$ . Αν θέσουμε: $\displaystyle{ BD = x,DC = y }$ τότε εύκολα (από τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle BDE,\vartriangle CDZ }$

με τη βοήθεια των γωνιών (γεωμετρικά ή τριγωνομετρικά)) βρίσκουμε: $\displaystyle{ \boxed{DE = \frac{{x\sqrt 3 }} {2},DZ = \frac{{y\sqrt 2 }} {2}}:\left( 6 \right) }$

Με τη βοήθεια της $\displaystyle{ \left( 6 \right) }$ η $\displaystyle{ \left( 5 \right) }$ γίνεται $\displaystyle{ \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\frac{{x\sqrt 3 }} {2} \cdot \frac{{y\sqrt 2 }} {2}}} {{bc}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\sqrt 6 }} {{4bc}} \cdot xy}:\left( 7 \right) }$

Κατά συνέπεια το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{ \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} }$ από την $\displaystyle{ \left( 7 \right) }$ θα πραγματοποιηθεί όταν πραγματοποιηθεί το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{ \boxed{K = xy} }$ .

Όμως $\displaystyle{ x + y = a = ct }$ οπότε (από πολύ γνωστή άσκηση (και της Α’ Λυκείου)) το μέγιστο του γινομένου δύο θετικών αριθμών με σταθερό

άθροισμα θα πραγματοποιηθεί όταν οι αριθμοί γίνουν ίσοι)). Άρα για $\displaystyle{ x = y = \frac{a} {2} \Rightarrow \max K = \frac{{a^2 }} {4}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)} \max \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{a^2 \sqrt 6 }} {{16bc}} \Rightarrow \boxed{\max \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\sqrt 6 }} {{16}} \cdot \frac{a} {b} \cdot \frac{a} {c}}:\left( 8 \right) }$

Στο αρχικό τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ από τον νόμο των ημιτόνων θα είναι:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \frac{a} {{\eta \mu 75^0 }} = \frac{b} {{\eta \mu 60^0 }} \Leftrightarrow \boxed{\frac{a} {b} = \frac{{\eta \mu 75^0 }} {{\eta \mu 60^0 }}} \hfill \\ \frac{a} {{\eta \mu 75^0 }} = \frac{c} {{\eta \mu 45^0 }} \Leftrightarrow \boxed{\frac{a} {c} = \frac{{\eta \mu 75^0 }} {{\eta \mu 45^0 }}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} \frac{{a^2 }} {{bc}} = \frac{{\eta \mu ^2 75^0 }} {{\eta \mu 60^0 \cdot \eta \mu 45^0 }}\xrightarrow{{\eta \mu ^2 75^0 = \sigma \upsilon \nu ^2 15^0 = \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 30^0 }} {2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }} {2}}} {2} = \frac{{2 + \sqrt 3 }} {4},\eta \mu 60^0 = \frac{{\sqrt 3 }} {2},\eta \mu 45^0 = \frac{{\sqrt 2 }} {2}}} }$

$\displaystyle{ \frac{{a^2 }} {{bc}} = \frac{{\frac{{2 + \sqrt 3 }} {4}}} {{\frac{{\sqrt 3 }} {2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }} {2}}} \Rightarrow \frac{{a^2 }} {{bc}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }} {{\sqrt 6 }} \Rightarrow \max \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\sqrt 6 }} {{16}} \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }} {{\sqrt 6 }} \Rightarrow \boxed{\max \frac{{\left( {DEZ} \right)}} {{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }} {{16}}} }$

Στάθης

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Επαλήθευση...

S.E.Louridas · #4

Γιά τυχόν τρίγωνο έχουμε:

Αρκεί λοιπόν το γινόμενο $DE \cdot DZ,$ να είναι το μέγιστο για κάποια θέση του

.
${\rm A}\varphi o\upsilon \;DE = BD\sin B,\;DZ = DC\sin C,\;\alpha \rho \kappa \varepsilon \dot \iota \;BD \cdot DC = R^2 - d^2$ (Δύναμη σημείου ως πρός κύκλο),
να γίνει ελάχιστο όπου

η ακτίνα του κύκλου (ABC)

και

η απόσταση του κέντρου του κύκλου αυτού από το σημείο

.
Αρκεί δηλαδή το

να γίνει ελάχιστο δηλαδή όταν το

γίνει μέσο της πλευράς

.

S.E.Louridas

KARKAR · #5

Αν και το γεγονός ότι $DE{\cdot}DZ= BD{\cdot}DCsinBsinC= c {\cdot} BD{\cdot}DS$ , μας δίνει τη μεγιστοποίηση του (DEZ)

για $\displaystyle BD=DC=\frac{a}{2}$ , δεν μπορεί ωστόσο να περάσει απαρατήρητη , η εκπληκτική απόδειξη του Σωτήρη !

S.E.Louridas · #6

Θανάση σε ευχαριστώ.
Αν θέλουμε να έχουμε γηγενή Γεωμετρική λύση μπορούμε να «εξαφανίσουμε» και τα ημίτονα (sin) από την ημέτερη λύση ως εξής: Θεωρούμε τα ύψη

και

οπότε έχουμε:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\vartriangle BDE \sim \vartriangle BCK,\;\vartriangle DCZ \sim \vartriangle BCL \Rightarrow ED = BD \cdot \frac{{CK}} {{BC}}\;\kappa \alpha \dot \iota \;DZ = DC \cdot \frac{{BL}} {{BC}} \Rightarrow } \\ {ED \cdot DZ = BD \cdot DC \cdot \frac{{CK \cdot BL}} {{BC^2 }},\;\mu \dot \varepsilon \;\frac{{CK \cdot BL}} {{BC^2 }},\;ct..........} \\ \end{array} } \right.$

S.E.Louridas

KARKAR · #7

Και μια τριγωνομετρική επέκταση :

Είναι $\displaystyle(DEZ)=\frac{1}{2}DE\cdot DZ\cdot sinD=\frac{1}{2}BD\cdot DC\cdot sinB \cdot sinC\cdot sinA$

Επίσης είναι εύκολο να δείξουμε ότι $(ABC)=2R^{2}\cdot sinB \cdot sinC\cdot sinA$ (*)

Συνεπώς : $\displaystyle\frac{(DEZ)}{(ABC)}=\frac{DB \cdot BC}{4R^{2}}=\frac{a^{2}}{16R^{2}}=\left(\frac{a}{4R} \right)^{2}=\left(\frac{sinA}{2} \right)^{2}$

οπότε , αν μεν θεωρήσουμε γνωστό το $sin75^{o}$ βρίσκουμε το ζητούμενο λόγο , αλλά αντίστροφα επειδή $\displaystyle\left(\frac{sinA}{2} \right)^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{16}\Rightarrow sinA=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\Rightarrow sin75^{o}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

(*) Από νόμο ημιτόνων : a=2RsinA

κ.λ.π , και $\displaystyle E=\frac{abc}{4R}$

Μέγιστη τιμή λόγου

Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Re: Μέγιστη τιμή λόγου

Μέλη σε σύνδεση