Μέγιστο Εμβαδό.

S.E.Louridas · #1

Εμπνεόμενος από την ιδέα του Θανάση (KARKAR) στο:
viewtopic.php?f=22&t=17665
Προτείνω το πρόβλημα που ακολουθεί:

$\Delta \dot \iota \nu \varepsilon \tau \alpha \iota \;\tau \rho \dot \iota \gamma .\;ABC.\;{\rm E}\sigma \tau \omega \;D \in BC,\;E \in AB,\;Z \in AC,\;\dot \omega \sigma \tau \varepsilon \;\tau o\;\tau \varepsilon \tau \rho \dot \alpha \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o$ $EDZA\;\nu \alpha \;\delta \iota \alpha \tau \eta \rho \varepsilon \dot \iota \;\tau \iota \varsigma \;\gamma \omega \nu \dot \iota \varepsilon \varsigma \;\tau o\upsilon ,\;\dot o\tau \alpha \nu \;\tau \dot o\;D\;\kappa \iota \nu \dot \eta \tau \alpha \iota \;\sigma \tau \eta \nu \;BC.$ $\Sigma \varepsilon \;\pi o\iota \dot \alpha \;\vartheta \dot \varepsilon \sigma \eta \;\tau o\upsilon \;D,\;\dot \varepsilon \chi o\upsilon \mu \varepsilon \;\tau o\;\mu \dot \varepsilon \gamma \iota \sigma \tau o\;\varepsilon \mu \beta \alpha \delta \dot o\;\left( {AEDZ} \right);$

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #2

Ας μου δοθεί το δικαίωμα να επαναφέρω το θέμα αυτό που το θεωρώ σημαντικό, με την δέσμευση να ακολουθήσει και η διαπραγμάτευση μου αν δεν το διαπραγματευτεί κάποιος άλλος.

S.E.Louridas

#3

Καλημέρα αγαπητέ μου φίλε Σωτήρη

Δεν ξέρω πως μου διέφυγε το όμορφο (και ομολογώ δύσκολο) θέμα σου αλλά κάτι νομίζω ότι έχω κάνει. Θα δούμε!!!

(Σχήμα 1)

Επειδή το τετράπλευρο $\displaystyle{ EDZA }$ διατηρεί τις γωνίες του σταθερές κατά την μετακίνηση του $\displaystyle{ D \in BC }$ θα διατηρεί και τις παραπληρωματικές του

σταθερές δηλαδή $\displaystyle{ \widehat{BED} = \hat \phi = ct_1 ,\widehat{DZC} = \hat \theta = ct_2 }$ και επειδή στα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle BED,\vartriangle DZC }$ εκτός των σταθερών $\displaystyle{ \hat \phi ,\hat \theta }$ παραμένουν σταθερές και οι $\displaystyle{ \hat B,\hat C }$

του αρχικού τριγώνου θα παραμένουν σταθερές και οι τρίτες τους γωνίες $\displaystyle{ \widehat{EDB} = \hat \sigma ,\widehat{CDZ} = \hat \omega }$

Άρα μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις για δύο διαφορετικές θέσεις $\displaystyle{ D,D{'} }$ επί της $\displaystyle{ BC }$ τα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle BED,\vartriangle BE{'}D{'} }$ θα είναι όμοια

(διατηρούν τις γωνίες τους ίσες) οπότε θα ισχύει : $\displaystyle{ \boxed{\frac{{EH}} {{BD}} = \frac{{E{'}H}} {{BD{'}}}}:\left( 1 \right) }$ . Με όμοιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι και $\displaystyle{ \vartriangle DZC \sim \vartriangle D'Z'C \Rightarrow \boxed{\frac{{ZL}} {{DC}} = \frac{{Z{'}L{'}}} {{D{'}C}}}:\left( 2 \right) }$

(δηλαδή οι λόγοι των βάσεων προς τα αντίστοιχα ύψη των τριγώνων $\displaystyle{ \vartriangle BED,\vartriangle DZC }$ παραμένουν σταθεροί για κάθε θέση του $\displaystyle{ D \in BC }$

Για την ευκολία των πράξεων ας θέσουμε $\displaystyle{ BD = x,DC = y,EH = \kappa ,ZL = \lambda }$ τότε: $\displaystyle{ \boxed{\frac{\kappa } {x} = c_1 }:\left( 3 \right) }$ και $\displaystyle{ \boxed{\frac{\lambda } {y} = c_2 }:\left( 4 \right) }$ με $\displaystyle{ c_1 ,c_2 > 0 }$ σταθερές.

Είναι προφανές ότι η μεγιστοποίηση του εμβαδού του τετραπλεύρου $\displaystyle{ EDZA }$ θα πραγματοποιηθεί για τη θέση του $\displaystyle{ D \in BC }$ για την οποία θα

έχουμε το ελάχιστο άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $\displaystyle{ \vartriangle BED,\vartriangle DZC }$ . Οπότε θα μας απασχολήσει το ελάχιστο της παράστασης

$\displaystyle{ f = \left( {BED} \right) + \left( {ZCD} \right) = \frac{1} {2}x\kappa + \frac{1} {2}y\lambda \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right):\kappa = c_1 x,\left( 4 \right):\lambda = c_2 y} }$ $\displaystyle{ f = \left( {BED} \right) + \left( {ZCD} \right) = \frac{1} {2}c_1 x^2 + \frac{1} {2}c_2 y^2 \mathop \Rightarrow \limits^{x + y = a = ct \Rightarrow y = a - c} }$

$\displaystyle{ f\left( x \right) = \frac{1} {2}c_1 x^2 + \frac{1} {2}c_2 \left( {a - x} \right)^2 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1} {2}c_1 x^2 + \frac{1} {2}c_2 \left( {a^2 - 2ax + x^2 } \right) }$ $\displaystyle{ \Rightarrow \ldots \boxed{f\left( x \right) = \frac{1} {2}\left( {c_1 + c_2 } \right)x^2 - ac_2 x + \frac{1} {2}a^2 c_2 } }$

η οποία είναι δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{ x }$ με θετικό συντελεστή δευτεροβάθμιου όρου οπότε θα πάρει ελάχιστη τιμή για

$\displaystyle{ x\mathop = \limits^{ - \frac{\beta } {{2\alpha }}} \frac{{ac_2 }} {{c_1 + c_2 }} \Rightarrow \boxed{x_{\min } = \frac{{ac_2 }} {{c_1 + c_2 }}}:\left( 5 \right) }$ . Από την $\displaystyle{ \left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} \kappa = c_1 \frac{{ac_2 }} {{c_1 + c_2 }} \Rightarrow \boxed{\kappa = \frac{{ac_1 c_2 }} {{c_1 + c_2 }}}:\left( 6 \right) }$

και με $\displaystyle{ y = a - x\mathop \Rightarrow \limits^{x = \frac{{ac_2 }} {{c_1 + c_2 }}} y = a - \frac{{ac_2 }} {{c_1 + c_2 }} \Rightarrow y = \frac{{ac_1 }} {{c_1 + c_2 }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right):\lambda = c_2 y} \boxed{\lambda = \frac{{ac_1 c_2 }} {{c_1 + c_2 }}}:\left( 7 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 6 \right),\left( 7 \right) \Rightarrow \boxed{\kappa = \lambda = \frac{{ac_1 c_2 }} {{c_1 + c_2 }}} }$ , δηλαδή το ελάχιστο του αθροίσματος του εμβαδού των τριγώνων $\displaystyle{ \vartriangle BED,\vartriangle DZC }$ (άρα το μέγιστο του εμβαδού του

τετραπλεύρου $\displaystyle{ EDZA }$ θα πραγματοποιηθεί για την θέση του $\displaystyle{ D \in BC }$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{ \kappa = \lambda \Rightarrow EH = ZL\mathop \Rightarrow \limits^{EH \bot BC,ZL \bot BC} \boxed{EZ//BC} }$ (Σχήμα 2)

Πάμε λοιπόν στο (σχήμα 2) για να προσδιορίσουμε και τη θέση του $\displaystyle{ D }$ για την οποία $\displaystyle{ EZ//BC }$ που όπως είδαμε παρουσιάζεται το $\displaystyle{ \max \left( {EDZA} \right) }$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle EBD\mathop \Rightarrow \limits^{\nu .\eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu } \boxed{\frac{{DB}} {{\eta \mu \phi }} = \frac{{EB}} {{\eta \mu \sigma }}}:\left( 8 \right) }$ και ομοίως στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle DZC\mathop \Rightarrow \limits^{\nu .\eta \mu \iota \tau \nu \omega \nu } \boxed{\frac{{DC}} {{\eta \mu \theta }} = \frac{{ZC}} {{\eta \mu \omega }}}:\left( 9 \right) }$

Με διαίρεση των $\displaystyle{ \left( 8 \right),\left( 9 \right) }$ κατά μέλη προκύπτει ότι: $\displaystyle{ \frac{{\frac{{DB}} {{\eta \mu \phi }}}} {{\frac{{DC}} {{\eta \mu \theta }}}} = \frac{{\frac{{EB}} {{\eta \mu \sigma }}}} {{\frac{{ZC}} {{\eta \mu \omega }}}} \Rightarrow \frac{{DB}} {{DC}} = \frac{{EB}} {{ZC}} \cdot \frac{{\eta \mu \omega \cdot \eta \mu \phi }} {{\eta \mu \theta \cdot \eta \mu \sigma }}\mathop \Rightarrow \limits^{EZ//BC \to (\Theta .\Theta \alpha \lambda ) \to \frac{{EB}} {{ZC}} = \frac{{AB}} {{AC}} = \frac{c} {b}} \boxed{\frac{{DB}} {{DC}} = \frac{c} {b} \cdot \frac{{\eta \mu \omega \cdot \eta \mu \phi }} {{\eta \mu \theta \cdot \eta \mu \sigma }}} }$

και η θέση του $\displaystyle{ D \in BC }$ για το $\displaystyle{ \max \left( {EDZA} \right) }$ έχει προσδιοριστεί

Σωτήρη σε ευχαριστώ για τη βραδιά!!! και καλή σου μέρα!!!

Με εκτίμηση
Στάθης

Υ.Σ. Συγνώμη για την "πολυγραφία" αλλά είναι η "αρρώστια" μου τι να κάνουμε

Μέγιστο Εμβαδό.

Μέγιστο Εμβαδό.

Re: Μέγιστο Εμβαδό.

Re: Μέγιστο Εμβαδό.

Μέλη σε σύνδεση