ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

#1

Σε τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ είναι $\displaystyle{ D,E,Z }$ τα ίχνη των διχοτόμων $\displaystyle{ \delta _\alpha ,\delta _\beta ,\delta _\gamma }$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: $\displaystyle{ \boxed{4\tau \cdot \left( {DEZ} \right) = \delta _\alpha \delta _\beta \delta _\gamma } }$ όπου

$\displaystyle{ \tau = \frac{{\alpha + \beta + \gamma }} {2} }$ (η ημιπερίμετρος του τριγώνου) και $\displaystyle{ \left( {DEZ} \right) }$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle DEZ }$

Στάθης

#2

κάποιες πράξεις (απλές )είναι ''αόρατες''...

ισχύουν :

$\displaystyle {\color{magenta}\bf AZ=\frac{bc}{a+b},BZ=\frac{ac}{a+b},BD=\frac{ac}{b+c},CD=\frac{ab}{b+c}, CE= \frac{ab}{a+c},AE=\frac{bc}{a+c}}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
τα $\displaystyle{\vartriangle AZE,\vartriangle ABC}$ έχουν τη $\hat A$ κοινή κι έτσι : $\displaystyle{\frac{(AZE)}{(ABC)}=\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\Rightarrow \boxed{(AZE)=\frac{bc}{(a+b)(a+c)} (ABC)}}$

ανάλογα βρίσκουμε $\displaystyle{\boxed{(BDZ)=\frac{ac}{(a+b)(b+c)} (ABC),~~ (DEZ)=\frac{ab}{(b+c)(a+c)} (ABC)}}$

$\displaystyle{(DEZ)=(ABC)-(AZE)-(BDZ)-(DEZ)=\dots=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}(ABC)\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow 4~ \tau (DEZ)=\frac{8abc~ \tau}{(a+b)(b+c)(c+a)}(ABC)\Rightarrow \boxed{ 4\tau (DEZ)=\delta_a~ \delta _b~ \delta_c}}$

είναι : $\displaystyle{\color{magenta}\boxed{\bf \delta_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bc\tau(\tau-a)}}}$

ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ

Μέλη σε σύνδεση