Ορθοκεντρίζοντας

KARKAR · #1

Τα ύψη

και

τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνονται στο

Να δειχθεί ότι : $BD{\cdot}BH+ CE{\cdot}CH=BC^{2}$

#2

φέρουμε και το τρίτο ύψος

του τριγώνου
τότε :
το DHKC

είναι εγράψιμο και ισχύει : $BH\cdot BD=BK\cdot BC$

το BEHK

είναι εγράψιμο και ισχύει : $CH\cdot CE=CK\cdot BC$

προσθέτουμε κατά μέλη τις προηγούμενες και παίρνουμε $BH\cdot BD +CH\cdot CE=BC(BK+CK)=BC^2$

#3

Και μια άλλη με περισσότερα λόγια και πράξεις...

Έστω πως το $\displaystyle{ABC}$ είναι οξυγώνιο.Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{AEHD}$ είναι:

$\displaystyle BH.BD=BE.BA \ \ (1)$

$\displaystyle CH.BCE=CD.CA \ \ (2)$

Προσθέτοντας τις (1) και (2) έχουμε:

$\displaystyle BH.BD+CH.CE=BE.BA+CD.CA \ \ (3)$

Από το θεώρημα της οξείας γωνίας στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ για την πλευρά $\displaystyle{AC}$ είναι:

$\displaystyle CA^2=AB^2+BC^2-2AB.BE\Rightarrow BA.BE=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2} \ \ (4)$

Από το θεώρημα της οξείας γωνίας στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ για την πλευρά $\displaystyle{AB}$ είναι:

$\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2-2CD.CA\Rightarrow CD.CA=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2} \ \ (5)$

Προσθέτοντας τις (4) και (5) προκύπτει:

$\displaystyle BE.BA+CD.CA=BC^2 \ \ (6)$

Από την (6) και την (3) προκύπτει:

$\displaystyle BH.BD+CH.CE=BC^2$

(Ανάλογα δείχνεται και σε άλλο τρίγωνο)

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #4

Μια διανυσματική αντιμετώπιση:

Έστω

το τρίτο ύψος του τριγώνου ABC

.

$\displaystyle{BD \cdot BH+CE \cdot CH =\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{BH}\cdot \pi \varrho o\beta_{\overrightarrow{BH}}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\cdot \pi \varrho o\beta_{\overrightarrow{CH}}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{BC}=}$
$\displaystyle{=\overrightarrow{BC}\cdot \pi \varrho o\beta_{\overrightarrow{BC}}\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{BC}\cdot \pi \varrho o\beta_{\overrightarrow{BC}}\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{KC}=BC \cdot BK+BC \cdot KC=BC \cdot (BK +KC)=BC \cdot BC=BC^2}$

edit: Κι εδώ

Ορθοκεντρίζοντας

Ορθοκεντρίζοντας

Re: Ορθοκεντρίζοντας

Re: Ορθοκεντρίζοντας

Re: Ορθοκεντρίζοντας

Μέλη σε σύνδεση