Ίσες χορδές

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνονται δύο κύκλοι με κέντρα O,K

. Από τον κύκλο κέντρου

φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα OP,OQ

προς τον άλλο κύκλο που τέμνουν τον πρώτο στα A,B

. Oμοίως προκύπτουν τα σημεία C,D

(σχήμα). Nα δείξετε ότι AB=CD

.

#2

Απλά θα ήθελα να επισημάνω ότι στη διεθνή βιβλιογραφία αυτό ονομάζεται the eyball theorem.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Η διάκεντρος των δύο κύκλων είναι άξονας συμμετρίας τους οπότε είναι και διχοτόμος των κοινών εφαπτομένων $\displaystyle{ OP - TQ,KS - KT }$ . Στο ισοσκελές

λοιπόν τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle OAB }$ αν $\displaystyle{ M \equiv AB \cap OK }$ είναι $\displaystyle{ {\rm O}{\rm M} }$ διχοτόμος (λόγω συμμετρίας) άρα θα είναι και ύψος και διάμεσος δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{AB = 2AM}:\left( 1 \right) }$

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \boxed{CD = 2CN}:\left( 2 \right) }$ . Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle OAM,\vartriangle OPK }$ είναι όμοια (ορθογώνια με μία οξεία γωνία (την $\displaystyle{ \hat \omega }$ κοινή) οπότε θα ισχύει:

$\displaystyle{ \frac{{{\rm A}{\rm M}}} {{KP}} = \frac{{{\rm O}{\rm A}}} {{OK}}\mathop \Rightarrow \limits^{AM = \frac{{AB}} {2},KP = R,OA = \rho } \frac{{\frac{{AB}} {2}}} {R} = \frac{\rho } {{OK}} \Rightarrow \ldots \boxed{AB = \frac{{2R\rho }} {{OK}}}:\left( 3 \right) }$

Με όμοιο τρόπο από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle KNC,\vartriangle KSO }$ βρίσκουμε πάλι … $\displaystyle{ \boxed{CD = \frac{{2\rho R}} {{OK}}}:\left( 4 \right) }$ . Από $\displaystyle{ \left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \boxed{AB = CD} }$

Στάθης

Ίσες χορδές

Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Re: Ίσες χορδές

Μέλη σε σύνδεση