Τεταρτημόριο και κύκλος
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τεταρτημόριο και κύκλος
Τετράγωνο , είναι "εγγεγραμμένο" σε τεταρτημόριο , ακτίνας .
Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει το τετατροκύκλιο , στο σημείο
1) Δείξτε ότι η , είναι η διχοτόμος της γωνίας
2) Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει του
Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει το τετατροκύκλιο , στο σημείο
1) Δείξτε ότι η , είναι η διχοτόμος της γωνίας
2) Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει του
- Συνημμένα
-
- Τεταρτημόριο και κύκλος.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Καλημέρα Θανάση "Μερακλή"
1) Έστω όπου είναι ο κύκλος διαμέτρου ( το μέσο της ). Τότε επειδή τετράγωνο θα είναι:
και το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο
( διάμετροι του κύκλου αφού ) δηλαδή .
Η είναι η κοινή χορδή των κύκλων και συνεπώς θα είναι κάθετη στη διάκεντρό τους , δηλαδή .
Όμως (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) οπότε και . Από
(κάθετες στην ίδια ευθεία ) και επειδή χορδές του θα ισχύει:
Από διχοτόμος της
2) Επειδή η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ίση με προφανώς η πλευρά του είναι
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο
Είναι (επίκεντρη στον κύκλο ) και .
(*) (εγγεγραμμένη). Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή ( και ) και επειδή έχουν από την τις γωνίες των "κορυφών" τους
ίσες θα είναι όμοια οπότε: . Τέλος στο ορθογώνιο τρίγωνο από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι:
Στάθης
1) Έστω όπου είναι ο κύκλος διαμέτρου ( το μέσο της ). Τότε επειδή τετράγωνο θα είναι:
και το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο
( διάμετροι του κύκλου αφού ) δηλαδή .
Η είναι η κοινή χορδή των κύκλων και συνεπώς θα είναι κάθετη στη διάκεντρό τους , δηλαδή .
Όμως (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) οπότε και . Από
(κάθετες στην ίδια ευθεία ) και επειδή χορδές του θα ισχύει:
Από διχοτόμος της
2) Επειδή η διαγώνιος του τετραγώνου είναι ίση με προφανώς η πλευρά του είναι
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο
Είναι (επίκεντρη στον κύκλο ) και .
(*) (εγγεγραμμένη). Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή ( και ) και επειδή έχουν από την τις γωνίες των "κορυφών" τους
ίσες θα είναι όμοια οπότε: . Τέλος στο ορθογώνιο τρίγωνο από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα είναι:
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3549
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο : και εφόσον (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο) θα είναι .
Ισχύει (σχέση εγγεγραμμένης – επίκεντρης στο τεταρτοκύκλιο) και απ’ το ισοσκελές θα είναι .
Εφόσον θα είναι , απ’ το τρίγωνο : και το ζητούμενο αποδείχτηκε.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3549
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Από Πυθαγόρειο στο με και παίρνουμε . Από Πυθαγόρειο στο παίρνουμε , οπότε .
Έστω και . Το είναι μέσο του , άρα στο τρίγωνο : .
Από Πυθαγόρειο στο () παίρνουμε . Τα τρίγωνα είναι όμοια, συνεπώς .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Αξιοποιώντας το σχήμα και τη ... λύση του Μιχάλη
Στο ορθογώνιο με Π.Θ. βρίσκουμε . Αλλά το είναι όμοιο με το
συνεπώς : , απ΄όπου παίρνω :
Στο ορθογώνιο με Π.Θ. βρίσκουμε . Αλλά το είναι όμοιο με το
συνεπώς : , απ΄όπου παίρνω :
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5971
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Γιά την διχοτόμο-μία άποψη χάριν του πλουραλισμού:
S.E.Louridas
S.E.Louridas
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Η άσκηση λες και είναι φτιαγμένη για εξάσκηση στα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας...
Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο παίρνουμε τα σημεία . Με κέντρο το και ακτίνα κατασκευάζουμε τεταρτοκύκλιο , όπου , με εξίσωση:
Το μέσο του έχει συντεταγμένες . Είναι
Ο κύκλος με διάμετρο έχει εξίσωση:
Τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία με συντεταγμένες που είναι ρίζες του συστήματος των εξισώσεων τους.
Βρίσκουμε: , οπότε, εκτός από το τέμνονται και στο
Είναι
και και αφού είναι και οι δύο οξείες (το είναι ορθογώνιο με ), είναι ίσες.
Είναι
Λαμβάνοντας υπόψη την τιμή είναι
Για τη σύγκριση των γωνιών,αντί της κλασσικής Αναλυτικογεωμετρικής μεθόδου προτίμησα μια πιο τριγωνομετρική προσέγγιση.
Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο παίρνουμε τα σημεία . Με κέντρο το και ακτίνα κατασκευάζουμε τεταρτοκύκλιο , όπου , με εξίσωση:
Το μέσο του έχει συντεταγμένες . Είναι
Ο κύκλος με διάμετρο έχει εξίσωση:
Τέμνει το ημικύκλιο στα σημεία με συντεταγμένες που είναι ρίζες του συστήματος των εξισώσεων τους.
Βρίσκουμε: , οπότε, εκτός από το τέμνονται και στο
Είναι
και και αφού είναι και οι δύο οξείες (το είναι ορθογώνιο με ), είναι ίσες.
Είναι
Λαμβάνοντας υπόψη την τιμή είναι
Για τη σύγκριση των γωνιών,αντί της κλασσικής Αναλυτικογεωμετρικής μεθόδου προτίμησα μια πιο τριγωνομετρική προσέγγιση.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5971
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Θεωρώ ότι το πρόβλημα είναι γενικότερο.
Κατά την άποψη μου επιλύεται και όταν το είναι απλά ορθογώνιο και όχι κατ’ αν’ ανάγκη τετράγωνο, ως εξής:
Ο κύκλος με διάμετρο περνά από τα σημεία Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο αυτό, τότε ισχύει
Άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, οπότε
(*) Εφαπτόμενες από το ίδιο σημείο στον ίδιο κύκλο.
S.E.Louridas
Κατά την άποψη μου επιλύεται και όταν το είναι απλά ορθογώνιο και όχι κατ’ αν’ ανάγκη τετράγωνο, ως εξής:
Ο κύκλος με διάμετρο περνά από τα σημεία Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο αυτό, τότε ισχύει
Άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, οπότε
(*) Εφαπτόμενες από το ίδιο σημείο στον ίδιο κύκλο.
S.E.Louridas
- Συνημμένα
-
- DSF.png (22.61 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τεταρτημόριο και κύκλος
Kαλημέρα σε όλους . Μια νέα ..όψιμη προσέγγιση στην τελευταία γενικότερη πρόταση του Σωτήρη.
Με χρήση του σχήματος και ελαφρά τροποποίηση της διατύπωσης . Στο σχήμα έχουμε το τεταρτημόριο , το είναι εγγράψιμο και που σημαίνει .
Θα δείξουμε ότι η είναι διχοτόμος της .
Θεωρούμε το , συμμετρικό του ως προς το κέντρο . Τότε (βαίνει σε ημικύκλιο ) αλλά και (αφού διάμετρος ).
Συνεπώς τα είναι συνευθειακά.
Από την σχέση παίρνουμε και .
Το προφανώς είναι σημείο της μεσοκαθέτου του άρα ..
Η ανάδειξη του ενδιαφέροντος αυτού θέματος υπηρετεί έναν ακόμη σκοπό για την συνέχεια ...
Φιλικά Γιώργος .
Με χρήση του σχήματος και ελαφρά τροποποίηση της διατύπωσης . Στο σχήμα έχουμε το τεταρτημόριο , το είναι εγγράψιμο και που σημαίνει .
Θα δείξουμε ότι η είναι διχοτόμος της .
Θεωρούμε το , συμμετρικό του ως προς το κέντρο . Τότε (βαίνει σε ημικύκλιο ) αλλά και (αφού διάμετρος ).
Συνεπώς τα είναι συνευθειακά.
Από την σχέση παίρνουμε και .
Το προφανώς είναι σημείο της μεσοκαθέτου του άρα ..
Η ανάδειξη του ενδιαφέροντος αυτού θέματος υπηρετεί έναν ακόμη σκοπό για την συνέχεια ...
Φιλικά Γιώργος .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 4 επισκέπτες