Βρείτε τη γωνία χ (95)

Ιστοσελίδα · #1

: x95.png (20.82 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Επί των πλευρών AB,BC

ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα σημεία D,E

, τέτοια ώστε $C\widehat DE = {30^ \circ }$ και EB = 2AD

. Βρείτε τη γωνία $x = D\widehat CB$ .

S.E.Louridas · #2

Όμορφη Άσκηση Ναί
Σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα CTE, AHT.

$\begin{array}{*{20}c} {TE + 2AD = CE + 2AD = AD + DB \Rightarrow HB + AD = DH + HB \Rightarrow } \\ {AD = DH \Rightarrow TD \bot AB \Rightarrow TD \bot TE.} \\ \end{array}$

Επίσης έχουμε:
$\angle ETC = 60^ \circ ,\angle CDE = 30^ \circ \Rightarrow \angle ETC = 2 \cdot \angle CDE,\mu \varepsilon \;TC = TE = EC.$

Άρα ο κύκλος (T,TC)

είναι ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο CDE

οπότε παίρνουμε: $x = 45^ \circ .$

S.E.Louridas

Ιστοσελίδα · #3

Είναι

και

$A\widehat{D}C=60^{\cirk}-x , A\widehat{C}D=60^{\circ}+x , E\widehat{D}B=30^{\circ}-x , D\widehat{E}B=30^{\circ}+x$

Στο τρίγωνο $ADC : \dfrac{a}{\sin (60^{\circ}+x)} = \dfrac{k}{\sin (60^{\circ}-x)}$

Στο τρίγωνο $DEB : \dfrac{2k}{\sin (90^{\circ}-x)} = \dfrac{a-k}{\sin (30^{\circ}+x)}$

Από τις δύο ισότητες παίρνουμε:

$2\sin (60^{\circ}-x)\sin (30^{\circ}+x) = [\sin (60^{\circ}+x) - \sin (60^{\circ}-x)]\cos x \Leftrightarrow$

$\cos (30^{\circ}-2x) - \cos 90^{\circ} = 2\cos 60^{\circ}\sin x\cos x \Leftrightarrow$

$\cos 30^{\circ}\cos 2x + \sin 30^{\circ}\sin 2x = \frac{1}{2}\sin 2x \Leftrightarrow$

$\cos 30^{\circ}\cos 2x = 0 \Leftrightarrow$

$2x = 90^{\circ} \Leftrightarrow$

$x = 45^{\circ}$

Δημήτρης Μυρογιάννης · #4

Καλημέρα στους Γεωμέτρες…
Η άσκηση Μιχάλη ήταν εξαιρετικά δύσκολη…
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ABC

η οποία τέμνει την

στο σημείο

, ενώνουμε τα F,E

καθώς και τα E,D

.
Εμφανίζεται το εγγράψιμο FEBD

από το οποίο λαμβάνουμε το ισοσκελές DFE

.
Φέρουμε τη μεσοκάθετο του

η οποία τέμνει την

στο σημείο

και ενώνουμε το

με το

.
Εμφανίζονται οι διαδοχικές γωνίες CFE,EFL,LFD

με μέτρο η κάθε μια

μοίρες.
Τα τρίγωνα DFL,EFC

είναι (Γ-Π-Γ) ίσα, οπότε CE=DL,FL=FC

.
Οι γωνίες FCL,FLC

είναι ίσες με μέτρο

μοίρες έκαστη, η

είναι μεσοκάθετος του

και

.
Το τμήμα

αφαιρετικά προκύπτει ίσο με τα HB,HE

και τελικά οι γωνίες LEB,ECL

έχουν μέτρο 30,15

μοίρες αντίστοιχα, οπότε x=45

μοίρες.

: Βρείτε τη γωνία χ (95).PNG (54.94 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Να ευχαριστήσω το Σωτήρη, το Στράτη και το Δημήτρη για τις λύσεις τους. Μία παραλλαγή της εδώ. Επανάληψη του ίδιου θέματος εδώ.
Το εντυπωσιακό είναι πως εμφανίστηκαν καινούριες λύσεις!

Βρείτε τη γωνία χ (95)

Βρείτε τη γωνία χ (95)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (95)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (95)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (95)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (95)

Μέλη σε σύνδεση