Παραλληλόγραμμο ριζικών κέντρων

#1

: 5.png (39.38 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{ ABCD }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω $\displaystyle{ I \equiv AB \cap CD,\;L \equiv AD \cap BC,\;\;S \equiv AC \cap BD\; }$ . Αν $\displaystyle{ M,N }$ και $\displaystyle{ F,Q }$ είναι

τα σημεία τομής των περικυκλίων των τριγώνων $\displaystyle{ \vartriangle SAB,\;\vartriangle SCD }$ με τις ευθείες $\displaystyle{ BC,AD }$ αντίστοιχα (όπως φαίνεται στο σχήμα) να δειχθεί ότι:

i) Τα σημεία $\displaystyle{ M,N,Q,F }$ είναι ομοκυκλικά

ii) Τα ριζικά κέντρα των τεσσάρων κύκλων (λαμβανομένων ανά τρείς) είναι κορυφές παραλληλογράμμου) δηλαδή στο σχήμα το $\displaystyle{ EZHI }$ είναι παραλληλόγραμμο.

Στάθης

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

: Rizikos.png (184.86 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

τέμνουσες του κύκλου C_3, ~

άρα $LD.LQ=LN.LC\Rightarrow \displaystyle \frac{LD}{LC}=\frac{LN}{LQ}$ (1)

LFA, LMB

τέμνουσες του κύκλου C_2, ~

άρα $LF.LA=LM.LB\Rightarrow \displaystyle \frac{LF}{LM}=\frac{LB}{LA}$ (2)

LDA, LCB

τέμνουσες του κύκλου C_1, ~

άρα $LD.LA=LC.LB\Rightarrow \displaystyle \frac{LB}{LA}=\frac{LD}{LC}$ (3)

1) Από τις (1), (2), (3) προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{LF}{LM}=\frac{LN}{LQ}$ (4)

και επομένως LF.LQ=LM.LN, ~

οπότε τα σημεία F, Q ,M, N

είναι ομοκυκλικά

2)
Από τις (1) και (4) έχουμε ότι $\displaystyle \frac{LF}{LM}=\frac{LD}{LC}\Rightarrow \frac{LC}{LM}=\frac{LD}{LF}, ~$ δηλαδή CD//MF

Από τις (2) και (4) έχουμε ότι $\displaystyle \frac{LN}{LQ}=\frac{LB}{LA}\Rightarrow \frac{LN}{LB}=\frac{LQ}{LA}, ~$ δηλαδή NQ//AB

Άρα το τετράπλευρο EZHI

είναι παραλληλόγραμμο.

Grigoris K. · #3

Καλησπέρα κ. Στάθη. Δίνω μια λύση με "κυνήγι γωνιών":

i )

Ισχύει $\widehat {MNQ} = \widehat D$ και $\widehat {AFM} = \pi - \widehat B = \widehat D$ άρα $\widehat {MNQ} = \widehat{AFM} \Longrightarrow FQNM$ εγγράψιμο.

ii)

Ισχύει $\widehat I = \pi -\widehat A - \widehat D$ και $\widehat Z = \pi - \widehat{FMN} - \widehat{MNQ}$ .

Όμως $\widehat A = \widehat{FMN}$ και $\widehat D = \widehat {MNQ}$ άρα $\boxed{\widehat I = \widehat Z}$ .

Επιπλέον ισχύει $\widehat{IHF} = \widehat A + \widehat{AFM}$ και $\widehat {IEZ} = \widehat{NQD} + \widehat D$ .

Όμως $\widehat {NQD} = \widehat{FMN} = \widehat A$ και $\widehat D = \widehat{ MNQ} = \widehat {AFM}$ άρα $\boxed{\widehat{IHF} = \widehat {IEZ}} \Longrightarrow EZHI$ παραλληλόγραμμο αφού οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.

Παραλληλόγραμμο ριζικών κέντρων

Παραλληλόγραμμο ριζικών κέντρων

Re: Παραλληλόγραμμο ριζικών κέντρων

Re: Παραλληλόγραμμο ριζικών κέντρων

Μέλη σε σύνδεση