Βρείτε τη γωνία χ (106)

Ιστοσελίδα · #1

: x106.png (14.51 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Επί της πλευράς $BC = \sqrt 5 + 1$ τριγώνου $ABC\,\left( {{{156}^ \circ }{{,9}^ \circ }{{,15}^ \circ }} \right)$ , παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε BD = 2

. Βρείτε τη γωνία $x = A\widehat DC$ .

Ιστοσελίδα · #2

Μία λύση από το συνάδελφο Νίκο Φραγκάκη.

: x106-solution.png (6.34 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

Έστω τμήμα $\displaystyle{BC = \sqrt 5 + 1}$ και σημείο του $\displaystyle{D}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{BD = 2}$ . Κατασκευάζω τρίγωνο $\displaystyle{SBC({132^0}{,18^0}{,30^0})}$ και γράφω τον περιγεγραμμένο του κύκλο $\displaystyle{(K,R)}$ .

Προφανώς $\displaystyle{B\hat KS = {60^0}}$ και $\displaystyle{S\hat KC = {36^0}}$ άρα $\displaystyle{BS = {\lambda _6}}$ και $\displaystyle{SC = {\lambda _{10}}}$ , συνεπώς $\displaystyle{\displaysyle\frac{{SB}}{{SC}} = \displaysyle\frac{{{\lambda _6}}}{{{\lambda _{10}}}} = \displaysyle\frac{R}{{\displaysyle\frac{{R(\sqrt 5 - 1)}}{2}}} = \displaysyle\frac{2}{{\sqrt 5 - 1}} = \displaysyle\frac{{BD}}{{DC}}}$ , συνεπώς η $\displaystyle{SD}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{B\hat SC = {132^0}}$ . Προφανώς από το τρίγωνο $\displaystyle{SDC}$ έχουμε για τη γωνία $\displaystyle{S\hat DC = {180^0} - {66^0} - {30^0} = {84^0}}$ .

Αν τώρα φέρω τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{S\hat CD}$ και κόψει το $\displaystyle{SD}$ στο $\displaystyle{A}$ εύκολα προκύπτει (από Θ. διχοτόμου και αντίστροφο) ότι και η $\displaystyle{BA}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{S\hat BC}$ . Δηλαδή το $\displaystyle{ABC}$ είναι το τρίγωνο της άσκησης και λόγω κατασκευής ορίζεται μονοσήμαντα, οπότε $\displaystyle{\hat x = {84^0}}$

Ιεράπετρα 11/12/2011

Φραγκάκης Νίκος (Doloros) – 2ο Λύκειο Ιεράπετρας

nfragkakis@sch.gr

Βρείτε τη γωνία χ (106)

Βρείτε τη γωνία χ (106)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (106)

Μέλη σε σύνδεση