Βρείτε τη γωνία χ (107)

Ιστοσελίδα · #1

: x107.jpg (37.99 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Δίνεται τετράπλευρο ABCD

με $BC = AD,\,AB = AC,\,A\widehat BD = {18^ \circ }$ και $C\widehat BD = {24^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία $x = B\widehat DC$ .

#2

καλημέρα Μιχάλη
ας κάνουμε μια αρχή με τριγωνομετρία...και βλέπουμε

$\bullet~~ADB=y$
$\bullet~~\displaystyle{\vartriangle ABD\rightarrow \frac{AD}{\sin 18}=\frac{AB}{\sin y},~~(1)}$

$\bullet~~\displaystyle{\vartriangle ABC\rightarrow \frac{BC}{\sin 96}=\frac{AB}{\sin 42},~~(2)}$

$\bullet~~\displaystyle{(1),~(2)\Rightarrow \sin y=\frac{\sin 42~ \sin 18}{\sin 96}=\frac{\sin 18}{2~\sin 48}=\sin 12~ \cancelto{1}{\frac{\sin 18}{\cos 36-\frac{1}{2}}}\Rightarrow \boxed{y=12^o}}$

$\bullet~~\displaystyle{\vartriangle BCD\rightarrow \frac{BC}{\sin x}=\frac{BD}{\sin (156-x)},~~(3)}$

$\bullet~~\displaystyle{\vartriangle ABD\rightarrow \frac{AB}{\sin 18}=\frac{BD}{\sin 30},~~(4)}$

$\bullet~~\displaystyle{(3),~(4)\Rightarrow \frac{\sin(24+x)}{\sin x}=\frac{1}{2~\sin 18}=2~\cos 36=\frac{\sin 54}{\sin 30}\Rightarrow \boxed{x=30^o}}$

Ιστοσελίδα · #3

: x107-sol.png (20.77 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Χάριν της τριγωνομετρικής δεινότητας της Φωτεινής και όχι μόνο (Φωτεινή σ' ευχαριστώ), παραθέτω τη γεωμετρική μου λύση.

Κατασκευάζω το ισόπλευρο ABE

, οπότε $C\widehat BE = {18^ \circ }$ και σχηματίζεται το χρυσό ισοσκελές $AEC\left( {{{36}^ \circ }{{,72}^ \circ }{{,72}^ \circ }} \right)$ . Από το ισοσκελές ABC

: $A\widehat CB = A\widehat BC = {42^ \circ }$ , οπότε $B\widehat CE = {72^ \circ } - {42^ \circ } = {30^ \circ }$ . Επί της

παίρνω σημείο

, τέτοιο ώστε $BCZ\left( {{{24}^ \circ }{{,78}^ \circ }{{,78}^ \circ }} \right)$ , οπότε $Z\widehat CA = {78^ \circ } - {42^ \circ } = {36^ \circ }$ .

Από $\Pi - \Gamma - \Pi$ τα τρίγωνα EBC,ABZ

είναι ίσα, συνεπώς $B\widehat CE = A\widehat ZB = {30^ \circ }$ , άρα σχηματίζεται το ισοσκελές $ZAC\left( {{{108}^ \circ }{{,36}^ \circ }{{,36}^ \circ }} \right)$ . Από εδώ παίρνουμε $A\widehat DZ = {12^ \circ }$ και από εξωτερική γωνία $Z\widehat AD = {18^ \circ }$ .

Στην προέκταση της

παίρνω σημείο

, τέτοιο ώστε $BAK\left( {{{12}^ \circ }{{,84}^ \circ }{{,84}^ \circ }} \right)$ . Τα τρίγωνα CAD,KBC

είναι ίσα από $\Pi - \Gamma - \Pi$ , επομένως $x = {42^ \circ } - {12^ \circ } = {30^ \circ }$ .

Βρείτε τη γωνία χ (107)

Βρείτε τη γωνία χ (107)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (107)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (107)

Μέλη σε σύνδεση