Ισόπλευρο από Ισόπλευρα;

Antonis_Z · #1

Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του

.

Σε ένα τρίγωνο κατασκεύαζουμε εξωτερικά ισόπλευρα τρίγωνα(Ένα σε κάθε πλευρά) με βάσεις τις πλευρές του τριγώνου.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των τριών ισόλευρων τριγώνων,ορίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Antonis_Z έγραψε:Καλά Χριστούγεννα σε όλα τα μέλη του .

Σε ένα τρίγωνο κατασκεύαζουμε εξωτερικά ισόπλευρα τρίγωνα(Ένα σε κάθε πλευρά) με βάσεις τις πλευρές του τριγώνου.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των τριών ισόλευρων τριγώνων,ορίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Θα ήθελα πολύ να δω και μια λύση με το μετασχηματισμό της στροφής

Προφανώς πρόκειται για το γνωστό θεώρημα του Steiner.Μια απόδειξη είναι η εξής:

: Θεώρημα του Steiner.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Έστω $\displaystyle{ S \equiv BB{'} \cap CC{'} }$ τότε τα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle ABB{'},\vartriangle ACC{'} }$ είναι ίσα

( $\displaystyle{ AB = AC'\left( {\vartriangle ABC'(\iota \sigma \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o} \right),\;AB{'} = AC\left( {\vartriangle AB{'}C(\iota \sigma \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o} \right),\;\widehat{BAB{'}} = \widehat{CAC{'}} = 60^0 + \widehat{BAC} }$ )

άρα $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \widehat{SC{'}A} = \widehat{SBA} \hfill \\ \widehat{SB{'}A} = \widehat{SCA} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SAC{'}B,SAB{'}C }$ εγγράψιμα οπότε

$\displaystyle{ \widehat{ASB} = 180^0 - \widehat{AC'B} = 180^0 - 60^0 = 120^0 = \ldots \widehat{ASC} \Rightarrow \ldots \widehat{BSC} = 120^0 = 180^0 - 60^0 = 180^0 - \widehat{BA'C} \Rightarrow SBA'C }$

εγγράψιμο.

Αν $\displaystyle{ A_1 ,B_1 ,C_1 }$ είναι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τετραπλεύρων

(που είναι και τα κέντρα των περικυκλίων των ισοπλεύρων τριγώνων που προφανώς είναι και τα κέντρα των τριγώνων

αυτών) τότε επειδή οι διάκεντροι είναι μεσοκάθετοι στις κοινές χορδές θα
είναι $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} A_1 C_1 \bot SB \hfill \\ C_1 B_1 \bot SA \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat{A_1 C_1 B_1 } + \widehat{BSA} = 180^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\widehat{BSA} = 120^0 } \boxed{\widehat{A_1 C_1 B_1 } = 60^0 } }$

και με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι $\displaystyle{ \widehat{C_1 B_1 A_1 } = \widehat{B_1 A_1 C_1 } = 60^0 }$ άρα το $\displaystyle{ \vartriangle A_1 B_1 C_1 }$ είναι ισόπλευρο.

Στάθης

Ισόπλευρο από Ισόπλευρα;

Ισόπλευρο από Ισόπλευρα;

Re: Ισόπλευρο από Ισόπλευρα;

Μέλη σε σύνδεση