μετρική διχοτόμηση

#1

: μετρική διχοτόμηση.png (29.26 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ . Αν $\displaystyle{ E }$ είναι το σημείο τομής του από το $\displaystyle{ B }$ διερχόμενου κύκλου και εφαπτόμενου

της $\displaystyle{ AC }$ στο $\displaystyle{ A }$ με την $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ D }$ το σημείο τομής του από το $\displaystyle{ C }$ διερχόμενου κύκλου και εφαπτόμενου της $\displaystyle{ AB }$ στο $\displaystyle{ A }$ με την $\displaystyle{ BC }$

Αν $\displaystyle{ Z }$ είναι το άλλο σημείο τομής (εκτός του $\displaystyle{ A }$ ) των δύο αυτών κύκλων να δειχθεί ότι:

i) $\displaystyle{ \boxed{\frac{{CZ}} {{b^2 }} = \frac{{BZ}} {{c^2 }} = \frac{{AZ}} {{bc}}} }$ , με $\displaystyle{ b,c }$ τα μήκη των πλευρών $\displaystyle{ AC,AB }$ αντίστοιχα και

ii) Οι $\displaystyle{ AZ,ZO }$ είναι διχοτόμοι της εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας $\displaystyle{ \widehat{BZC} }$ , όπου $\displaystyle{ O }$ το κέντρου του περικυκλίου του $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

Στάθης

#2

: STA-XRI.jpg (33.8 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

$\displaystyle{B\hat AZ = A\hat CZ}$ (χορδή και εφαπτομένη). Όμοια $\displaystyle{C\hat AZ = A\hat BZ}$ , συνεπώς τα τρίγωνα $\displaystyle{ABZ{\text{ \& }}ACZ}$ είναι όμοια, επομένως

$\displaystyle{\frac{{CZ}}{{AZ}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AZ}}{{BZ}} \Rightarrow \frac{{CZ}}{{AZ}} = \frac{b}{c}{\text{ \& }}\frac{{BZ}}{{AZ}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \boxed{\frac{{CZ}}{{{b^2}}} = \frac{{AZ}}{{bc}} = \frac{{BZ}}{{{c^2}}}}}$ . Επειδή $\displaystyle{A\hat ZC = A\hat ZB}$ έχουμε ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{B\hat ZC}$ .

Για το τελευταίο ερώτημα θα επιστρατεύσουμε την αντιστροφή. Αντιστρέφουμε με πόλο το σημείο

και λόγο $\displaystyle{\lambda = A{Z^2}}$ . Τότε οι κύκλοι κέντρων $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$

αντιστρέφονται στις ευθείες $\displaystyle{ZL{\text{ \& }}ZK}$ , ο δε περιγεγραμμένος του τριγώνου ABC

κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία

.

Επειδή $\displaystyle{{\rm Z}{\rm M} \bot {\rm A}{{\rm O}_2}{\text{ \& }}{\rm Z}{\rm N} \bot {\rm A}{{\rm O}_1}}$ προκύπτει ότι το ANZM

είναι παραλληλόγραμμο, συνεπώς το σημείο

είναι μέσον του

.

Επίσης $\displaystyle{{\rm A}{\rm O} \bot {\rm M}{\rm N}}$ λόγω αντιστροφής. Τότε $\displaystyle{AS \cdot AO = AS \cdot R = \frac{\lambda }{2} = \frac{1}{2}{\rm A}{{\rm Z}^2} = {\rm A}{\rm T} \cdot {\rm A}{\rm Z}}$ , που σημαίνει ότι το ZOST

είναι εγγράψιμμο,

επομένως $\displaystyle{{\rm A}\hat {\rm Z}{\rm O} = {90^o}}$ , κατά συνέπεια η

είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας $\displaystyle{B\hat ZC}$ .

ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ Σ' ΟΛΑ ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΜΙΚΡΗΣ ΜΑΣ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑΣ.

μετρική διχοτόμηση

μετρική διχοτόμηση

Re: μετρική διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση